Calcul vectoriel : Norme, angle, orthogonalité

1. Vecteurs et norme

Un vecteur \(\vec{u}\) dans \(\mathbb{R}^n\) est représenté par ses composantes. La norme d'un vecteur, notée \(\|\vec{u}\|\), mesure sa longueur ou amplitude.

Dans le plan ou dans l'espace, la norme se calcule comme suit :

• dans \(\mathbb{R}^2\) : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}\)
• dans \(\mathbb{R}^3\) : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\)

Exemple : pour \(\vec{u} = (3, 4)\), \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

2. Produit scalaire et angle entre deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est défini par :

∏ : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 (+ u_3 v_3)\) dépend des composants.

Il possède des propriétés essentielles :

• Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
• Orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

L'angle \(\theta\) entre deux vecteurs est lié au produit scalaire par :

∏ : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta\)

En isolant \(\theta\) :

∏ : \(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\)

Exemple : si \(\vec{u} = (1, 0)\) et \(\vec{v} = (0, 1)\), alors : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), \(\|\vec{u}\|=1\), \(\|\vec{v}\|=1\), donc \(\cos \theta = 0\) et \(\theta = 90^\circ\).

3. Orthogonalité

Deux vecteurs orthogonaux sont perpendiculaires : ils forment un angle de \(90^\circ\). Exemple : \(\vec{a} = (2, 3)\) et \(\vec{b} = (-3, 2)\) sont orthogonaux si :

∏ : \(2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0\)

Cette condition permet de vérifier l'orthogonalité entre deux vecteurs.