Calcul vectoriel : Norme, angle, orthogonalité

1. Vecteurs et norme

Un vecteur \(ec{u}\) dans \(\mathbb{R}^n\) est représenté par ses composantes. La norme d'un vecteur, notée \(\|ec{u}\|\), mesure sa longueur ou amplitude.

Dans le plan ou dans l'espace, la norme se calcule comme suit :

• dans \(\mathbb{R}^2\) : \(\|ec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}\)
• dans \(\mathbb{R}^3\) : \(\|ec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\)

Exemple : pour \(ec{u} = (3, 4)\), \(\|ec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

2. Produit scalaire et angle entre deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) est défini par :

∏ : \(ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 (+ u_3 v_3)\) dépend des composants.

Il possède des propriétés essentielles :

• Commutativité : \(ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u}\)
• Orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : \(ec{u} \cdot ec{v} = 0\)

L'angle \( heta\) entre deux vecteurs est lié au produit scalaire par :

∏ : \(ec{u} \cdot ec{v} = \|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\| 	imes \cos 	heta\)

En isolant \( heta\) :

∏ : \(\cos 	heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\|}\)

Exemple : si \(ec{u} = (1, 0)\) et \(ec{v} = (0, 1)\), alors : \(ec{u} \cdot ec{v} = 0\), \(\|ec{u}\|=1\), \(\|ec{v}\|=1\), donc \(\cos heta = 0\) et \( heta = 90^\circ\).

3. Orthogonalité

Deux vecteurs orthogonaux sont perpendiculaires : ils forment un angle de \(90^\circ\). Exemple : \(ec{a} = (2, 3)\) et \(ec{b} = (-3, 2)\) sont orthogonaux si :

∏ : \(2 	imes (-3) + 3 	imes 2 = -6 + 6 = 0\)

Cette condition permet de vérifier l'orthogonalité entre deux vecteurs.