Mathématiques - Combinaisons : Méthodes de dénombrement – Mathematiques

Calculer le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans ordre, avec la formule des combinaisons \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Objectifs

Comprendre ce que sont les combinaisons et leur notation \( \binom{n}{k} \).
Savoir calculer \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) et interpréter le résultat.
Appliquer la méthode des combinaisons à des problèmes simples (associations, tirages, slogans, clubs, etc.).

Question mini: quelle affirmation décrit le mieux une combinaison ?

Réponse: 2. Une combinaison compte les ensembles sans tenir compte de l'ordre et sans répétition.

Notation et formule générale: le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est donné par

En notation, on écrit

Formule:

Pour un exemple inline, on peut écrire \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Exemple de calcul:

\div

Formule de démonstration: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Étape 1: identifier n et k

Étape 2: écrire la formule \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Étape 3: calculer les factoriels et simplifier

Question: Combien de combinaisons de 2 parmi 4 éléments existent ?

Réponse: 6, car \( \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6 \).

Exemple 1: Former une équipe de 3 joueurs parmi 7 joueurs différents.

Étape 1: identifier n = 7 et k = 3

Étape 2: écrire la formule \( \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} \)

Étape 3: calcul numérique \( = \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \)

Voir la solution

Calcul détaillé:

Question: Combien de mains de 5 cartes parmi un paquet de 52 si l'ordre n'est pas important ?

Référence: \( \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! 47!} \approx 2,598,960 \).

Question rapide: si l'on veut choisir k = 3 parmi n = 6 sans répétition, quel est le nombre de combinaisons?

Réponse: \( \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{720}{36} = 20 \).

Combinaisons: nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.
Notation: \( \binom{n}{k} \) ou C(n, k).
Formule clé: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Notion

Définition: nombre de choix sans ordre ni répétition

Notation

\( \binom{n}{k} \) ou C(n, k)

Formule

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)