Mathématiques : Combinatoire et Dénombrement

Le Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est une représentation triangulaire des coefficients binomiaux. Chaque ligne correspond aux coefficients de l'expansion d'un binôme selon le nombre d'éléments choisis.

Construction du Triangle

• La première ligne est [1].
• Chaque nouvelle ligne commence et se termine par 1.
• Les autres éléments sont la somme des deux éléments situés en haut à gauche et en haut à droite dans la ligne précédente.

Exemple

   1
  1 1
 1 2 1
1 3 3 1

Formules de Dénombrement

Coefficient binomial

Le coefficient binomial étant noté \( \binom{n}{k} \), se calcule par :

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \)

Utilisations principales

• Calcul des combinaisons : nombre de façons de choisir kéments parmi n éléments.
• Les coefficients du binôme dans l'expansion de \( (a + b)^n \).

Relation avec le Triangle de Pascal

Les coefficients du binôme dans la ligne n du triangle sont donnés par \( \binom{n}{k} \) pour k allant de 0 à n.

Exemples et Exercices

• Calculer \( \binom{5}{2} \).
• Identifier la valeur dans le triangle de Pascal à la 4ème ligne, 2ème colonne.