Introduction

Le produit scalaire est une opération que l'on applique à deux vecteurs. Imaginez que les vecteurs sont comme des flèches dans l'espace : le produit scalaire nous permet de mesurer une certaine relation entre ces deux flèches.

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} \cdot ec{v}\), est un nombre (un scalaire) qui est défini par :

\( ec{u} \cdot ec{v} = |ec{u}| imes |ec{v}| imes \cos heta \)

où :

• \(\displaystyle |ec{u}|\) et \(\displaystyle |ec{v}|\) désignent la norme (longueur) des vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\).
• \(\displaystyle heta\) est l'angle entre les deux vecteurs, compris entre 0 et \(\pi\) radians.

Analogie

Imaginez que vous poussez un chariot avec deux directions différentes. Le produit scalaire vous indique à quel point ces deux directions font une "relation" particulière. Si le produit est positif, cela signifie qu'elles pointent dans une direction similaire. S'il est nul, cela indique qu'elles sont perpendiculaires (angles droits). Et s'il est négatif, cela montre qu'elles pointent dans des directions opposées.

Résumé

Le produit scalaire nous permet de :

• Mesurer l'angle entre deux vecteurs.
• Vérifier si deux vecteurs sont perpendiculaires (produit nul).
• Calculer la longueur d'une projection d'un vecteur sur un autre.