Introduction

Dans un triangle, le médiateur d’un côté est la droite qui passe par le point médian de ce côté et est perpendiculaire à ce côté. Il possède une propriété importante : il permet de déterminer si un point est équidistant de deux sommets du triangle.

Définition du médiateur

• Soit un triangle \( riangle ABC\).
• Le médiateur du segment \([AB]\) est la droite qui passe par son point médian \(M\) et qui est perpendiculaire à \([AB]\).

Construction du médiateur

1. Tracer le segment \([AB]\).
2. Repérer le point médian \(M\) de \([AB]\) (au milieu du segment).
3. Tracer une droite perpendiculaire à \([AB]\) passant par \(M\). C’est le médiateur de \([AB]\).

Propriété principale

Dans un triangle, le médiateur d’un côté passera par le centre du cercle inscrit si le triangle est inscriptible, mais plus généralement :

Le point d'intersection des médiateurs de tous les côtés est appelé le circumcenter du triangle. Ce point est équidistant des trois sommets du triangle, c’est-à-dire :

\[ 	ext{Si } O 	ext{ est l'intersection des médiateurs, alors} \]
\[ OA = OB = OC \]

Conclusion

Les médiateurs jouent un rôle clé dans la géométrie des triangles, notamment pour déterminer le cercle circonscrit à un triangle, dont le centre est le point d’intersection de tous les médiateurs.