Géométrie et transformations : Milieu d’un segment et propriétés vectorielles

1. Le milieu d’un segment

Le milieu d’un segment est le point situé à équidistance des deux extrémités du segment.

Si on considère un segment \(\overline{AB}\), le point \(M\) est son milieu si :

• \(M\) appartient à \(\overline{AB}\)
• \(\overline{AM} = \overline{MB}\)
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Pour calculer le point \(M\) (en coordonnées si \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\)), on utilise la formule :

\[ extbf{M} = \left( rac{x_A + x_B}{2}, rac{y_A + y_B}{2} ight) \]

2. Propriétés vectorielles

Un vecteur \(ec{AB}\) est représenté par la flèche allant du point \(A\) au point \(B\).

Dans un plan avec des coordonnées, le vecteur \(ec{AB}\) a pour coordonnées :

\[ ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

Quelques propriétés importantes :

• Addition des vecteurs : \(ec{AB} + ec{BC} = ec{AC}\)
• Multiplication par un réel \(k\) : \(k imes ec{AB} = (k imes (x_B - x_A), k imes (y_B - y_A))\)
• Parallélisme : Deux vecteurs sont parallèles si leurs coordonnées sont proportionnelles.

3. Application : trouver le milieu et utiliser les vecteurs

Exemple :

Soit \(A(1, 2)\) et \(B(5, 6)\). Le milieu \(M\) de \(\overline{AB}\) :

\[ M = \left( rac{1 + 5}{2}, rac{2 + 6}{2} ight) = (3, 4) \]

Le vecteur \(ec{AB}\) :

\[ ec{AB} = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4) \]

Ce sont des outils importants pour construire et étudier les segments et les figures en géométrie.