Mathematiques : Limites, Continuité, Croissances Comparées et Opérations

1. Croissances comparées

Pour comparer la croissance de deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) lorsque \(x o +\infty\) ou \(x o a\), on étudie le comportement du rapport \(rac{f(x)}{g(x)}\).

• Si \(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = 0\), alors \(f(x)\) croît moins vite que \(g(x)\).
• Si \(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = +\infty\), alors \(f(x)\) croît plus vite que \(g(x)\).
• Si \(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = c\), avec \(c eq 0\), alors \(f(x)\) et \(g(x)\) ont la même croissance asymptotique.

2. Opérations sur les limites

Soit \(f(x)\) et \(g(x)\) deux fonctions à limites quand \(x o a\) ou \(+\infty\).

1. Limite d'une somme

\(\lim_{x o a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x o a} f(x) + \lim_{x o a} g(x)\), à condition que ces limites existent.

2. Limite d'un produit

\(\lim_{x o a} (f(x) imes g(x)) = \left(\lim_{x o a} f(x) ight) imes \left(\lim_{x o a} g(x) ight)\), si ces limites existent.

3. Limite d'un quotient

\(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = rac{\lim_{x o a} f(x)}{\lim_{x o a} g(x)}\), si \(\lim_{x o a} g(x) eq 0\).

4. Limite d'une puissance

\(\lim_{x o a} [f(x)]^n = \left(\lim_{x o a} f(x) ight)^n\), pour tout entier \(n\).

3. Exemple illustratif

Soit \(f(x) = 3x^2\) et \(g(x) = 2x^2 + 5\).

On compare leur croissance lorsque \(x o +\infty\):

\(\displaystyle \lim_{x o +\infty} rac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x o +\infty} rac{3x^2}{2x^2 + 5} = rac{3}{2}\)

Ce qui montre que les deux fonctions ont la même croissance asymptotique puisque le rapport tend vers une constante non nulle.

Conclusion

Les opérations sur les limites permettent de simplifier et d'étudier le comportement de fonctions au voisinage d'un point ou à l'infini. La comparaison des croissances aide à classer les fonctions selon leur vitesse de croissance.