Logique et Raisonnement

Introduction

Les raisonnements permettent de tirer des conclusions à partir d'informations ou d'énoncés. Nous allons étudier trois principaux types de raisonnements : la disjonction de cas, l'argument par l'absurde et la contraposée.

1. La disjonction de cas

Définition

Ce raisonnement consiste à traiter plusieurs cas possibles pour en déduire une conclusion générale. Il est souvent utilisé lorsque la situation peut se diviser en différentes situations exclusives.

Exemple

Supposons que :

• Soit \(A\), \(B\), sont des propositions.
• Si \(A\) est vrai, alors \(P\) est vrai.
• Si \(B\) est vrai, alors \(P\) est aussi vrai.

Alors, si l'on sait que \(A extbf{ ou } B\) est vrai, on peut conclure que \(P\) est vrai.

2. Le raisonnement par l'absurde

Définition

Ce raisonnement montre qu'une proposition est vraie en démontrant que sa négation mène à une contradiction. C'est une technique efficace pour prouver la véracité d'une assertion.

Exemple

Supposons qu'on veuille prouver que \( \sqrt{2} \) est irrationnel :

• On suppose le contraire : \( \sqrt{2} \) est rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme \( rac{a}{b} \) avec \(a\) et \(b\) entiers premiers entre eux.
• À partir de cette supposition, on montre qu'il en découle une contradiction, prouvant ainsi que \( \sqrt{2} \) est irrationnel.

3. La contraposée

Définition

La contraposée d'une implication \(A \Rightarrow B\) est \( eg B \Rightarrow eg A \). La propriété importante est que cette implication est logiquement équivalente à l'originale.

Exemple

Si l'on veut prouver que :

\[A \Rightarrow B,\]

il peut être plus simple de prouver la contraposée :

\[ eg B \Rightarrow eg A.\]

Par exemple, pour prouver :
Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair.
On peut prouver la contraposée :
Si un nombre n'est pas pair, alors il n'est pas divisible par 4.

Conclusion

Les trois types de raisonnement présentés sont essentiels en mathématiques pour établir des démonstrations rigoureuses et efficaces. La maîtrise de ces méthodes permet d'aborder différents types de problèmes avec confiance.