Introduction

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, nécessaires pour résoudre certaines équations comme \(x^2 + 1 = 0\). Imaginez-les comme des points à deux dimensions où chaque nombre possède une partie réelle et une partie imaginaire.

Définition

Un nombre complexe s'écrit sous la forme :

a + bi\

où :

• avoir une partie réelle : \(a\), un réel,
• et une partie imaginaire : \(b\), un réel,

et \(i\) est l'unité imaginaire définie par :

i^2 = -1\.

Représentation géométrique

Chaque nombre complexe peut être représenté dans le plan appelé plan d'Argand-Gauss. La partie réelle \(a\) est la coordonnée en abscisse, la partie imaginaire \(b\) en ordonnée.

Par exemple, \(3 + 4i\) est un point situé à 3 unités à droite de l'origine, et 4 unités en haut.

Opérations sur les nombres complexes

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux complexes :

\( (a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i \)

Multiplication

Multiplication :

\( (a + bi) 	imes (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \)

Et comme \(i^2 = -1\), cela devient :

\( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)

Conjugaison

Le conjugué d'un nombre complexe \(a + bi\) est :

\( \overline{a + bi} = a - bi \)

Norme

La norme (ou module) du nombre complexe :

\( |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Forme trigonométrique

Un nombre complexe peut aussi s'écrire avec sa norme \(r\) et un angle \( heta\) :

\( a + bi = r (\cos 	heta + i \sin 	heta) \)

où :

• \( r = |a + bi| \)
• \( heta = \) argument du nombre, c'est-à-dire l'angle avec l'axe des abscisses, généralement calculé avec :

\( 	heta = rctan \left( rac{b}{a} 
ight) \)

Formule d'Euler

Elle permet d'exprimer un nombre complexe en utilisant l'exponentielle :

\( a + bi = r e^{i 	heta} \)

avec cette relation : \(\cos heta + i \sin heta = e^{i heta}\).

Produit et puissance

Pour multiplier ou élever à une puissance deux complexes en forme trigonométrique :

(r_1 e^{i 	heta_1}) 	imes (r_2 e^{i 	heta_2}) = r_1 r_2 e^{i (	heta_1 + 	heta_2)}

(r e^{i 	heta})^n = r^n e^{i n 	heta}