Mathématiques - Nombres complexes

Introduction

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels permettant de résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans échelle réelle, notamment l'équation \(x^2 + 1 = 0\).

Définition et forme générale

Un nombre complexe est une expression de la forme :

    z = a + bi

où :

• \(a\) et \(b\) sont des nombres réels,
• \(i\) est l'unité imaginaire, telle que \(i^2 = -1\).

Parties réelle et imaginaire

Dans \(z = a + bi\), :

•  la partie réelle : \(Re(z) = a\),
• la partie imaginaire : \(Im(z) = b\).

Représentation graphique

Les nombres complexes peuvent être représentés dans un plan appelé plan complexe :

• axe horizontal : l'axe des réels,
• axe vertical : l'axe des imaginaires.

Un complexe \(z = a + bi\) correspond au point \((a, b)\).

Opérations sur les nombres complexes

Addition et soustraction

Pour deux complexes \(z_1 = a_1 + b_1 i\) et \(z_2 = a_2 + b_2 i\) :

    z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i
    z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) i

Produit

Le produit de deux complexes :

    z_1 	imes z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i

Nombre complexe conjugué

Le conjugué d'un complexe \(z = a + bi\) est :

    \(\overline{z} = a - bi\)

Modules et arguments

Module

Le module du nombre complexe \(z = a + bi\) est :

    |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Argument

l'angle \( heta\) que forme le vecteur avec l'axe réel :

    \(	heta = rctan \left(rac{b}{a}
ight)\) (attention à déterminer le bon quadrant)

Forme trigonométrique

Un complexe \(z = a + bi\) peut s'écrire en forme trigonométrique :

    z = |z|\left(\cos 	heta + i \sin 	heta
ight)

Formule de De Moivre

Pour tout entier naturel \(n\) :

    \(z^n = |z|^n \left(\cos n 	heta + i \sin n 	heta
ight)\)

Exemples

Exemple 1 :

Représenter le nombre complexe \(z = 3 + 4i\) :

• Partie réelle : 3
• Partie imaginaire : 4
• Module : \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
• Argument : \( heta = rctan rac{4}{3} pprox 0,93 \) radians

Exemple 2 :

Calculer \((1 + i)^3\) en forme trigonométrique :

• \(z = 1 + i\), module : \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
• argument : \( heta = rctan 1 = rac{\pi}{4}\)
• en forme trigonométrique : \( z = \sqrt{2}\left(\cos rac{\pi}{4} + i \sin rac{\pi}{4} ight)\)
• par formule de De Moivre : \[ (1 + i)^3 = (\sqrt{2})^3 \left(\cos rac{3\pi}{4} + i \sin rac{3\pi}{4} ight) = 2 \sqrt{2} \left(-rac{\sqrt{2}}{2} + i rac{\sqrt{2}}{2} ight) \]
• Résultat en forme cartésienne : \(-2 + 2i\)

Conclusion

Les nombres complexes, par leur représentation graphique, leurs opérations et leurs formes alternatives, sont un outil fondamental en mathématiques. La maîtrise de leur manipulation facilite la résolution d'équations et l'étude des phénomènes périodiques.