Nombres entiers et divisibilités

Les nombres entiers naturels

Les nombres entiers naturels sont l'ensemble des nombres utilisés pour compter : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Définition

Ils sont notés par le symbole ℕ et comprennent tous les nombres entiers positifs ainsi que zéro.

Propriétés essentielles

• Ils sont infinis et ordonnés, on peut les classer du plus petit au plus grand.
• Le nombre 0 est le plus petit nombre naturel.
• Les opérations d'addition et de multiplication sont toujours possibles entre deux nombres entiers naturels, et leur résultat est un nombre naturel.

Les opérations sur les nombres naturels

Addition

Pour ajouter deux nombres naturels \(a\) et \(b\), on écrit \(a + b\). Par exemple : \(3 + 5 = 8\).

Soustraction

La soustraction n’est pas toujours définie pour deux nombres naturels : par exemple, \(3 - 5\) n’est pas un nombre naturel.

Multiplication

Pour multiplier, par exemple, \(4 imes 3 = 12\).

Division

La division n’est généralement pas toujours définie dans \(\mathbb{N}\), sauf si le diviseur divise le dividende exactement. Par exemple, \(12 \div 4 = 3\).

Divisibilité

Définition

On dit que le nombre entier naturel \(a\) est divisible par un autre nombre naturel \(b\) (avec \(b eq 0\)), si il existe un entier naturel \(k\) tel que :

\(a = b imes k\)

Exemples

• \(12\) est divisible par \(3\) car \(12 = 3 imes 4\).
• \(10\) n’est pas divisible par \(3\) car il n’existe pas d’entier \(k\) tel que \(10 = 3 imes k\).

Notations

On note : \(b \mid a\) si \(a\) est divisible par \(b\).

Résumé

• Les nombres entiers naturels sont essentiels pour compter et faire des opérations simples.
• La divisibilité permet de savoir si un nombre peut être divisé par un autre sans reste.