Mathematiques : Nombres et calculs

1. Opérations sur les nombres décimaux et rationnels

Les nombres décimaux et rationnels sont manipulés avec les opérations habituelles : addition, soustraction, multiplication et division.

Addition et soustraction

On aligne les virgules et on effectue l'opération comme avec des entiers :

Exemple : \(\ 3,45 + 1,2 = 4,65 \)

Multiplication

On multiplie comme avec des nombres entiers, puis on place la virgule en conséquence :

Exemple : \(\ 0,3 imes 0,4 = 0,12 \)

Division

On effectue la division en déplaçant la virgule pour diviser par un entier ou en utilisant la notation décimale :

Exemple : \(\ 0,84 \div 0,2 = 4,2 \)

2. Notation scientifique (a×10^p)

La notation scientifique permet d'écrire de très grands ou très petits nombres de façon compacte. Elle s'écrit sous la forme :

\( N = a imes 10^p \)

où :

• \( a \) est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (ou -10 et -1 si négatif)
• \( p \) est un entier (positif, négatif ou nul)

Exemples

• \( 4,5 imes 10^3 \) correspond à 4500
• \( 3,2 imes 10^{-4} \) correspond à 0,00032

3. Puissances

Une puissance s'écrit sous la forme :

\( a^n \)

où :

• \( a \) est la base
• \( n \) est l'exposant, indiquant le nombre de fois que \( a \) est multiplié par lui-même

Exemples

• \( 2^3 = 2 imes 2 imes 2 = 8 \)
• \( 10^4 = 10\,000 \)
• \( 5^{-2} = rac{1}{5^2} = rac{1}{25} \)

Les puissances se combinent avec les opérations arithmétiques en respectant les règles de calcul :

• \( a^m imes a^n = a^{m + n} \)
• \( rac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \)
• \( (a^m)^n = a^{m imes n} \)

Conclusion

Les opérations sur les nombres décimaux et rationnels, la notation scientifique et les puissances sont essentielles pour manipuler efficacement les grands et petits nombres et simplifier les calculs.