Définition

Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs entiers positifs : 1 et lui-même.

Exemples

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• Le nombre 2 est le seul nombre premier par lequel passe la seule paire de nombres premiers consécutifs, à savoir 2 et 3.

Propriétés importantes

1. Chaque nombre entier supérieur à 1 est soit premier, soit composé d'un ou plusieurs nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique).
2. Il y a une infinité de nombres premiers. C'est une propriété démontrée par Euclide il y a plus de 2000 ans.

Critères de primalité

Pour déterminer si un nombre \( n \) est premier, on peut utiliser plusieurs méthodes :

• La division par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{n}\).
• Tests plus avancés comme le test de Fermat ou le test de Miller-Rabin pour de grands nombres.

Applications

• Cryptographie, notamment dans le RSA, où la génération de grands nombres premiers est essentielle.
• Cryptographie, notamment dans le RSA, où la génération de grands nombres premiers est essentielle.
• Théorie des nombres et recherche de propriétés numériques.