Mathematiques : Notions et raisonnements logiques - Propositions logiques avec et, ou, non
Notions et raisonnements logiques
Propositions logiques avec et, ou, non
Introduction
En mathématiques, une proposition est une phrase qui peut être vraie ou fausse. Pour analyser ces propositions, on utilise des connecteurs logiques : et, ou, et non.
Les connecteurs logiques
- ET (conjonction):
- OU (disjonction):
- NON (négation):
La proposition « A et B » signifie que les deux propositions A et B sont vraies en même temps. Notation : \(A \land B\).
La proposition « A ou B » signifie que au moins l’une des propositions est vraie. Notation : \(A \lor B\).
La proposition « non A » indique que A est fausse. Notation : \( eg A\).
Table de vérité
La table de vérité montre toutes les combinaisons de vérité des propositions A et B, et le résultat de la proposition composée.
Exemple : A et B
| A | B | \(A \land B\) |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Faux |
Exemple : A ou B
| A | B | \(A \lor B\) |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Vrai |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Faux |
Exemple : Non A
| A | \( eg A\) |
|---|---|
| Vrai | Faux |
| Faux | Vrai |
Les lois de la logique
- La loi de l'identité : \(A \Rightarrow A\)
- La loi de la non-contradiction : \( eg (A \land eg A)\)
- La loi du tiers exclu : \(A \lor eg A\)
Conclusion
Les propositions et leurs connecteurs permettent de formaliser et d'analyser des raisonnements en mathématiques. Maîtriser ces notions est essentiel pour construire des démonstrations et résoudre des problèmes logiques.
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