Introduction

Le produit scalaire est une opération qui associe à deux vecteurs un nombre réel appelé « produit scalaire ». Il est fondamental en géométrie et en algèbre vectorielle.

Définition du produit scalaire

Soient \(ec{u}\) et \(ec{v}\) deux vecteurs dans un espace \(\mathbb{R}^n\). Le produit scalaire de \(ec{u} = (u_1, u_2, ..., u_n)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)\) est défini par :

\( ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n \)

Ceci est aussi écrit en utilisant la notation sigma :

\( ec{u} \cdot ec{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i \)

Propriétés principales

• Le produit scalaire est commutatif : \( ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u} \)
• Il est linéaire : \( orall a, b \in \mathbb{R} \), \(ec{u}, ec{v}, ec{w} \in \mathbb{R}^n\), \[ (a ec{u} + b ec{v}) \cdot ec{w} = a (ec{u} \cdot ec{w}) + b (ec{v} \cdot ec{w}) \]
• Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme : \[ ec{u} \cdot ec{u} = \|ec{u}\|^2 \]