Mathematiques : Produit scalaire - Définition

Produit scalaire - Définition

Introduction

En mathématiques, le produit scalaire est une opération qui permet de mesurer la relation entre deux vecteurs dans un espace euclidien. Il est important en géométrie pour calculer des angles ou des longueurs.

Définition du produit scalaire

Soient \(ec{u}\) et \(ec{v}\) deux vecteurs dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions, avec

\(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\)
\(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\)

le produit scalaire de \(ec{u}\) et \(ec{v}\) est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

Autrement dit, le produit scalaire est la somme des produits de leurs composantes correspondantes.

Caractéristiques du produit scalaire

Commutativité : \(ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u}\)
Distribution : \(ec{u} \cdot (ec{v} + ec{w}) = ec{u} \cdot ec{v} + ec{u} \cdot ec{w}\)
Homogénéité : pour tout réel \( \lambda \) : \(\left(\lambda ec{u} ight) \cdot ec{v} = \lambda (ec{u} \cdot ec{v})\)

Utilisations

Calcul de l'angle entre deux vecteurs :
\[ \cos heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| imes \|ec{v}\|} \]
Vérification de l'orthogonalité : deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul ; c’est-à-dire, \(ec{u} \cdot ec{v} = 0\).