Mathematiques - Produits scalaire

Définition du produit scalaire

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui renvoie un nombre réel, appelé scalaire.

Vecteurs dans l'espace

Considérons deux vecteurs : \(ec{u}\) et \(ec{v}\), dans un espace euclidien à 3 dimensions par exemple.

Définition

Le produit scalaire de \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

Ce qui signifie en pratique que l'on multiplie composante par composante, puis on additionne le tout.

Propriétés importantes

• Commutativité : \(ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u}\)
• Linéarité : \(orall \lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\lambda ec{u} + \mu ec{v}\) est également un vecteur, et :
• \( (\lambda ec{u}) \cdot ec{v} = \lambda (ec{u} \cdot ec{v}) \)
• Et coopérant avec la norme, il permet de définir l'angle entre deux vecteurs.

Exemple

Si \(ec{u} = (2, 3, 1)\) et \(ec{v} = (4, -1, 2)\), alors :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = 2 imes 4 + 3 imes (-1) + 1 imes 2 = 8 - 3 + 2 = 7 \]

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est donc 7.