Introduction

Le produit scalaire est une opération fondamentale en géométrie et en algèbre, permettant de mesurer l'angle ou la projection entre deux vecteurs dans un espace.

Définition du produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs du plan ou de l'espace. Leur produit scalaire, noté \(ec{u} \cdot ec{v}\), est défini comme une opération qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel, appelé « scalaire ».

Le produit scalaire doit respecter plusieurs propriétés :

• Linearity : \[ ext{pour tous } ec{u}, ec{v}, ec{w} ext{ et } lpha \in \mathbb{R}: \] \[ (ec{u} + ec{v}) \cdot ec{w} = ec{u} \cdot ec{w} + ec{v} \cdot ec{w} \] \[ lpha ec{u} \cdot ec{v} = lpha (ec{u} \cdot ec{v}) \]
• Symétrie : \[ ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u} \]
• Positivité : \[ ec{u} \cdot ec{u} \geq 0 \], et \(ec{u} \cdot ec{u} = 0 \iff ec{u} = ec{0}\)

Expression du produit scalaire

Dans un espace à deux ou trois dimensions, si les vecteurs sont donnés par leurs composantes :

  \(ec{u} = (u_1, u_2)\) ou \((u_1, u_2, u_3)\)

  \(ec{v} = (v_1, v_2)\) ou \((v_1, v_2, v_3)\)

Le produit scalaire s'exprime souvent comme :

  \[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \quad (	ext{en 2D}) \]
  \[ 	ext{ou} \]
  \[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \quad (	ext{en 3D}) \]