Mathematiques : Sommes de variables aléatoires - Loi binomiale

Introduction

Dans ce cours, nous étudierons la loi binomiale, qui apparaît lorsqu'on considère la somme de plusieurs épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.

Les épreuves de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience ayant deux résultats possibles : succès avec la probabilité \( p \) et échec avec la probabilité \( 1 - p \).

Exemple : le lancer d'une pièce équilibrée, où la réussite est d'obtenir face, avec \( p = 0,5 \).

La variable aléatoire \( X \) : Nombre de succès en \( n \) essais

Considérons \( n \) épreuves de Bernoulli indépendantes identiques. La variable aléatoire \( X \) représente le nombre de succès parmi ces \( n \) essais.

La loi binomiale

La distribution de \( X \) suit une loi binomiale, notée \( ext{B}(n, p) \). Sa fonction de probabilité est donnée par :

Pour tout \( k \in \{0, 1, \dots, n\} \),

\[ P(X = k) = inom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

où \(inom{n}{k}\) est le coefficient binomial, calculé par :

\[ inom{n}{k} = rac{n!}{k! (n - k)!} \]

Propriétés importantes

Le nombre de succès \( X \) est la somme de \( n \) variables de Bernoulli :
- \( X = X_1 + X_2 + \dots + X_n \), où chaque \( X_i \) est une variable de Bernoulli indépendante avec \( P(X_i=1) = p \).
La loi binomiale modélise le nombre de réussites dans une série d’épreuves indépendantes et identiques, ce qui en fait une loi fondamentale en probabilités.

Exemple

Supposons qu’on lance une pièce équilibrée 10 fois. La probabilité d’avoir exactement 4 faces est :

\[ P(X=4) = inom{10}{4} imes 0,5^4 imes 0,5^{6} = inom{10}{4} imes 0,5^{10} \]

Conclusion

La loi binomiale est essentielle pour modéliser le nombre de succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli. Elle permet de calculer précisément la probabilité d’obtenir un certain nombre de réussites.