1. Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes de la suite. Elle est généralement notée (u_n) ou (a_n) , où n désigne la position du terme dans la suite.

2. Notation et définition

Une suite est définie par une formule ou une règle qui permet de calculer chaque terme en fonction de son rang n.

• Exemple : suite arithmétique où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au terme précédent.
• Exemple : suite géométrique où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante.

3. Propriétés fondamentales

a) Propriété de la suite

• Une suite est entièrement déterminée par son premier terme \( u_0 \) ou \( u_1 \) et la règle de calcul des termes suivants.
• Réccurence : chaque terme peut être défini en fonction du terme précédent, par exemple \( u_{n+1} = u_n + r \) pour une suite arithmétique.

b) Monotonie

• Une suite est dite croissante si \( u_{n+1} \geq u_n \) pour tout n.
• Elle est décroissante si \( u_{n+1} \leq u_n \) pour tout n.

c) Limite

• Une suite peut converger vers une valeur limite \( L \), c’est-à-dire que pour tout \(arepsilon > 0\), il existe N tel que pour tout n ≥ N,\( |u_n - L| < arepsilon \).
• Exemples : suite géométrique avec une raison \( |q| < 1 \) converge vers 0.

4. Exemple simple

Considérons la suite définie par \[ u_n = 2n + 1 \].

• Les premiers termes sont : \( u_1 = 3 \), \( u_2 = 5 \), \( u_3 = 7 \), ...
• C’est une suite arithmétique avec une raison de 2 et un premier terme de 3.