Vecteur et points du plan - Distances et milieux

Ce cours explique comment calculer la distance entre deux points et comment déterminer le milieu d’un segment dans le plan.

Objectifs

Soient les points \(A(1, 2)\) et \(B(4, 6)\). Calculons la distance \(\overline{AB}\).

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Étape 1 : Identifier les coordonnées : \(x_1=1, y_1=2, x_2=4, y_2=6\).

Étape 2 : Appliquer la formule : \[ \; \text{Distance} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \].

Étape 3 : Calculer \((x_2 - x_1) = 4 - 1 = 3\) et \((y_2 - y_1) = 6 - 2 = 4\).

Étape 4 : Effectuer le calcul : \[ \; \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \].

Soient \(A(2, 3)\) et \(B(6, 7)\). Déterminons le point milieu \(M\).

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Étape 1 : Identifier les coordonnées : \(x_1=2, y_1=3, x_2=6, y_2=7\).

Étape 2 : Appliquer la formule du milieu : \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \].

Étape 3 : Calculer : \[ \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{10}{2} \right) = (4, 5) \].

Quelle est la réponse correcte ?

La distance est \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

La distance entre deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) est \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
Le milieu d’un segment avec points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) est \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).
Ces notions sont essentielles pour construire, analyser des figures ou modéliser des situations géométriques dans le plan.