Les opérations sur les vecteurs

Introduction

Les vecteurs sont des éléments importants en géométrie pour représenter des grandeurs avec à la fois une direction, un sens et une longueur. Nous allons voir les principales opérations possibles avec les vecteurs : l'addition, la soustraction et la multiplication par un nombre (scalaire).

1. L'addition de vecteurs

Si \( ec{u} \) et \( ec{v} \) sont deux vecteurs, leur somme \( ec{w} = ec{u} + ec{v} \) est définie graphiquement en plaçant le vecteur \( ec{u} \) puis en partant de son point d'arrivée, le vecteur \( ec{v} \). Mathématiquement, si \( ec{u} \) a pour coordonnées \((x_1, y_1)\) et \( ec{v} \) \((x_2, y_2)\), alors :

\( ec{u} + ec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)

2. La soustraction de vecteurs

La soustraction \( ec{u} - ec{v} \) correspond à l'addition de \( ec{u} \) avec le vecteur opposé à \( ec{v} \). Si \( ec{v} \) a pour coordonnées \((x_2, y_2)\), alors :

\( ec{u} - ec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \)

3. La multiplication par un scalaire

Multiplier un vecteur \( ec{u} = (x, y) \) par un nombre \( k \) appelé scalaire donne un nouveau vecteur \( k ec{u} \) dont les coordonnées sont :

\( k ec{u} = (k x, k y) \)

Résumé

• Addition : \( ec{u} + ec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)
• Soustraction : \( ec{u} - ec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \)
• Multiplication par un scalaire : \( k ec{u} = (k x, k y) \)

Ces opérations permettent de manipuler et de combiner des vecteurs pour résoudre divers problèmes géométriques.