Introduction

Les vecteurs sont des grandeurs qui ont une magnitude (longueur) et une direction. Ils sont représentés par une flèche dans le plan ou l'espace. Nous allons voir comment effectuer différentes opérations avec les vecteurs : la somme, la différence, la multiplication par un scalaire, et leurs propriétés.

Addition de vecteurs

Pour ajouter deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on place le vecteur \(ec{u}\) puis on arrive le long de \(ec{v}\) à partir de la tête de \(ec{u}\). La somme \(ec{u} + ec{v}\) est le vecteur allant du début de \(ec{u}\) à la fin de \(ec{v}\).

Matériellement :
si \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\), alors \[ ec{u} + ec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)\]

Soustraction de vecteurs

Pour soustraire deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on calcule \(ec{u} - ec{v}\) en soustrayant leurs composantes :
si \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\), alors \[ ec{u} - ec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)\]

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Multiplier un vecteur \(ec{u} = (u_1, u_2)\) par un nombre \(k\) (scalaire) donne un nouveau vecteur dont chaque composante est multipliée par \(k\):
si \(k\) est un scalaire, alors \[ k \cdot ec{u} = (k u_1, k u_2)\]

Propriétés importantes

• Associativité de l’addition : pour tous vecteurs \(ec{u}\), \(ec{v}\), \(ec{w}\),
  \[\ (ec{u} + ec{v}) + ec{w} = ec{u} + (ec{v} + ec{w}) \]
• Commutativité de l’addition :
  \[\ ec{u} + ec{v} = ec{v} + ec{u} \]
• Distributivité du scalaire :
  \[\ k (ec{u} + ec{v}) = k ec{u} + k ec{v} \]