Mathématiques - Vecteurs : Produits scalaire et vectoriel

Introduction

Les vecteurs sont des grandeurs qui possèdent une direction, un sens et une norme. Dans cette leçon, nous allons étudier deux méthodes de multiplication de vecteurs : le produit scalaire et le produit vectoriel.

1. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} \cdot ec{v}\), est un nombre (scalaire). Il est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = |ec{u}| imes |ec{v}| imes \cos heta \]

où :

• \(<|ec{u}|>\) et \(<|ec{v}|>\) sont les normes des vecteurs (leur longueur).
• \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

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Propriétés du produit scalaire :

• \( ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u} \) (il est commutatif).
• \( ec{u} \cdot ec{u} = |ec{u}|^2 \).
• \( ec{u} \cdot ec{v} = 0 \) si et seulement si \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont perpendiculaires.

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Calcul pratique :

Si \(ec{u} = (x_1, y_1)\) et \(ec{v} = (x_2, y_2)\), alors :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]

2. Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} imes ec{v}\), est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux.

Dans le plan, le produit vectoriel est souvent représenté par sa norme :

\[ |ec{u} imes ec{v}| = |ec{u}| imes |ec{v}| imes \sin heta \]

où \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

Propriétés du produit vectoriel :

• \( ec{u} imes ec{v} = - (ec{v} imes ec{u}) \) (anté-commutativité).
• \( ec{u} imes ec{u} = ec{0} \) (vecteur nul).
• Le vecteur \(ec{u} imes ec{v}\) est perpendiculaire à \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

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Calcul en coordonnées :

Si \(ec{u} = (x_1, y_1, z_1)\) et \(ec{v} = (x_2, y_2, z_2)\), alors :

\[ ec{u} imes ec{v} = (y_1 z_2 - z_1 y_2,\; z_1 x_2 - x_1 z_2,\; x_1 y_2 - y_1 x_2) \]

Résumé

• Le produit scalaire donne un nombre, utilisé pour mesurer l'angle entre deux vecteurs.
• Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux.

Ces deux produits sont fondamentaux en géométrie dans l'espace et en physique.