Comparer une mesure à une valeur de référence, c'est vérifier si la différence est compatible avec l'incertitude de la mesure.

Mesures et incertitudes — Comparaison avec une valeur de référence

Niveau 2nde — Physique-Chimie

Objectifs

Comprendre incertitude absolue et relative.
Savoir comparer une mesure à une valeur de référence.
Décider si une mesure est compatible avec la référence (critère avec incertitude).

Notions clés

1 — Mesure et incertitude absolue

Une mesure s'écrit habituellement \(x \pm u_x\), où \(x\) est la valeur mesurée et \(u_x\) l'incertitude absolue (même unité que \(x\)).

Exemple : \(L = 12{}3 \pm 0{}2\ \mathrm{cm}\).

Étape 1 : noter la valeur mesurée et son incertitude écrit \(x \pm u_x\).

Étape 2 : s'assurer que l'unité est indiquée et cohérente avec la référence.

Question — Que représente l'incertitude absolue ?

La marge plausible autour de la mesure où se trouve la vraie valeur.
La valeur minimale mesurée sur l'appareil.
La valeur exacte sans erreur.

L'incertitude est la marge (A). Elle exprime la précision, pas la valeur exacte.

2 — Incertitude relative (et en pourcentage)

On définit l'incertitude relative \(u_r\) par :

\(u_{r} = \dfrac{u_x}{|x|}\) et en pourcentage \(u_{\%} = 100\times u_{r}\%\).

Exemple : si \(x=2{}5\ \mathrm{m}\) et \(u_x=0{}01\ \mathrm{m}\), alors \(u_r = \dfrac{0{}01}{2{}5}=0{}004 = 0{}4\%\).

Question — Si \(x = 100\ \mathrm{g}\) et \(u_x = 2\ \mathrm{g}\), quelle est l'incertitude en \% ?

0,02\%
2\%\
2\% (bonne réponse)

\(u_r = 2/100 = 0{}02 = 2\%\).

3 — Comparaison avec une valeur de référence

Calculer la différence absolue :

\(\Delta = |x - x_{ref}|.\)

Critère simple de compatibilité (utilisé en 2nde) : si \(\Delta \le U\) alors la mesure est compatible avec la référence, sinon elle est incompatible. Ici \(U\) est l'incertitude prise en compte. Souvent on utilise l'incertitude élargie \(U = k\,u_x\) avec \(k=2\) pour un niveau de confiance plus grand.

Formule affichée :

\[\Delta = |x - x_{ref}| \quad\text{et}\quad \text{compatibilité si }\Delta \le U.\]

Question — Si \(x=10{}0\pm0{}3\) et \(x_{ref}=9{}7\), quelle est la différence et la compatibilité avec \(U=u_x\) ?

\(\Delta=0{}3\), compatible.
\(\Delta=0{}3\), compatible (bonne réponse si \(\Delta\le u_x\)).
\(\Delta=0{}7\), incompatible.

\(\Delta=|10{}0-9{}7|=0{}3\). Comme \(U=u_x=0{}3\), on a \(\Delta\le U\) donc compatible.

Exemples résolus

Exemple 1 — Température

Mesure : \(T = 25{}3 \pm 0{}2\ ^\circ\mathrm{C}\). Référence : \(T_{ref} = 25{}0\ ^\circ\mathrm{C}\).

Voir la solution

Étape 1 : calculer la différence \(\Delta = |25{}3-25{}0| = 0{}3\ ^\circ\mathrm{C}\).

Étape 2 : comparer à l'incertitude absolue \(u_T = 0{}2\ ^\circ\mathrm{C}\). Ici \(\Delta = 0{}3 > 0{}2\), donc si on prend \(U=u_T\) la mesure est incompatible.

Étape 3 : si on prend l'incertitude élargie \(U = k u_T\) avec \(k=2\), alors \(U = 0{}4\ ^\circ\mathrm{C}\) et \(\Delta = 0{}3 \le 0{}4\) : la mesure devient compatible à ce niveau de confiance.

Question rapide — Avec \(k=2\), la mesure est-elle compatible ?

Oui (bonne réponse).
Non.
Impossible à dire sans autre info.

Avec \(U=2\times0{}2=0{}4\), on a \(\Delta=0{}3\le0{}4\) donc compatible.

Exemple 2 — Longueur

Mesure : \(L = 12{}30 \pm 0{}05\ \mathrm{cm}\). Référence : \(L_{ref} = 12{}35\ \mathrm{cm}\).

Voir la solution

Étape 1 : \(\Delta = |12{}30 - 12{}35| = 0{}05\ \mathrm{cm}\).

Étape 2 : comparer à \(u_L = 0{}05\ \mathrm{cm}\). Ici \(\Delta = u_L\), on dit que la référence est à la limite de compatibilité (frontière).

Étape 3 : si on veut plus de confiance, utiliser \(k=2\) donne \(U=0{}10\ \mathrm{cm}\) et alors la mesure est compatible.

Question — Que conclure si \(\Delta = u_x\) ?

La mesure est clairement incompatible.
La mesure est à la limite de compatibilité (bonne réponse).
La mesure est forcément exacte.

Si \(\Delta = u_x\), la référence est sur la frontière de l'intervalle \(x\pm u_x\).

Schéma — lecture d'une mesure et de son incertitude

Le schéma montre une règle graduée (mm) avec la mesure et la bande d'incertitude.

Question — Si la bande va de 117 mm à 129 mm et la référence est 116 mm, la mesure est-elle compatible ?

Non (bonne réponse).
Oui.
Impossible à dire.

La référence 116 mm est en dehors de l'intervalle [117;129], donc incompatible.

Erreurs fréquentes

Ne pas arrondir correctement la différence et l'incertitude.
Ne pas vérifier que la référence et la mesure ont la même unité.
Oublier que certains résultats demandent \(k=2\) (incertitude élargie) pour une confiance d'environ 95\%.

Question — Quelle est la bonne pratique avant de comparer ?

Comparer sans unité, ça va bien.
Ajouter toujours \(k=3\).
Vérifier les unités et préciser si on utilise l'incertitude standard ou élargie (bonne réponse).

Il faut vérifier unités et le type d'incertitude (standard ou élargie).

Récapitulatif (méthode pas à pas)

1 — Écrire la mesure \(x \pm u_x\) et la valeur de référence \(x_{ref}\).

2 — Calculer \(\Delta = |x - x_{ref}|\).

3 — Choisir l'incertitude à utiliser (\(u_x\) ou \(U=k\,u_x\)).

4 — Conclure : compatible si \(\Delta \le U\), sinon incompatible.

Cartes mémo

Incertitude absolue

La marge \(u_x\) autour de la mesure \(x\) (mêmes unités).

Incertitude relative

\(u_r = \dfrac{u_x}{|x|}\) (sans unité) — utile pour comparer précisions.

Différence

\(\Delta = |x - x_{ref}|\) — comparer à l'incertitude.

Compatibilité

Si \(\Delta \le U\) (avec \(U\) choisi), la mesure est compatible.