Mesures et incertitudes — Comparaison avec valeur de référence

Mesures et incertitudes — Comparaison avec une valeur de référence

Objectifs

Comprendre comment exprimer une mesure avec son incertitude.
Savoir comparer une valeur mesurée à une valeur de référence (table, fabricant, valeur théorique).
Conclure si la mesure est compatible ou non avec la référence.

Rappels essentiels

Une mesure s'écrit : x = x_m ± u(x) où x_m est la valeur mesurée et u(x) l'incertitude absolue.
L'incertitude relative (ou pourcentage d'incertitude) : u_r = u(x)/|x_m| (souvent exprimée en %).
On peut utiliser une incertitude élargie U = k·u avec k (facteur de couverture), couramment k=2.

Principe de comparaison

Soit une mesure x = x_m ± u(x) et une valeur de référence x_ref (sans incertitude fournie).

Calculer la différence absolue : Δ = |x_m - x_ref|.
Comparer Δ à l'incertitude u(x) (ou à l'incertitude élargie U si précisé).
Critère simple :
- Si Δ ≤ u(x) (ou ≤ U) alors la mesure est compatible avec la référence.
- Si Δ > u(x) alors la mesure est incompatible (différence significative).

Remarque : ce critère suppose que la valeur de référence est considérée comme exacte. Si la référence a aussi une incertitude u_ref, il faut alors utiliser l'incertitude combinée : u_comb = sqrt(u(x)^2 + u_ref^2) et comparer Δ à u_comb.

Formules utiles

Différence absolue : Δ = |x_m - x_ref|
Incertitude relative : u_r = u(x) / |x_m|
Incertitude combinée (deux valeurs avec incertitudes) : u_comb = sqrt(u1^2 + u2^2)
Critère de compatibilité : comparer Δ à u(x) ou à u_comb.

Exemples

Exemple 1 (référence sans incertitude)
Mesure : L = 10{,}2 ± 0{,}1 cm. Valeur de référence : L_ref = 10{,}0 cm.

Δ = |10{,}2 - 10{,}0| = 0{,}2 cm
u(L) = 0{,}1 cm. Comme Δ = 0{,}2 > u(L) = 0{,}1, la mesure est incompatible avec la référence.
Incertitude relative : u_r = 0{,}1/10{,}2 ≃ 0{,}98 %.

Exemple 2 (référence avec incertitude)
Mesure : A = 9{,}8 ± 0{,}20 unités. Référence : A_ref = 10{,}0 ± 0{,}05} unités.

Δ = |9{,}8 - 10{,}0| = 0{,}2
u_comb = sqrt(0{,}20^2 + 0{,}05^2) = sqrt(0{,}04 + 0{,}0025) = sqrt(0{,}0425) ≃ 0{,}206
Comme Δ = 0{,}2 ≤ u_comb ≃ 0{,}206, les deux valeurs sont compatibles compte tenu des incertitudes.

Conseils pratiques pour le compte rendu

Écrire la mesure sous la forme x = x_m ± u(x) et préciser si u est une incertitude élargie (facteur k).
Indiquer la valeur de référence et, si disponible, son incertitude.
Montrer les calculs : Δ, u_comb si nécessaire, puis la conclusion (« compatible » ou « incompatible »).
Arrondir l'incertitude à un ou deux chiffres significatifs ; arrondir la valeur mesurée au même ordre de grandeur.

Exercice d'entraînement (rapide)

Vous mesurez une résistance : R = 100{,}5 ± 0{,}8 Ω. La valeur théorique attendue est R_ref = 100{,}0 Ω. La mesure est-elle compatible avec la référence ?

Solution : Δ = |100{,}5 - 100{,}0| = 0{,}5 Ω. u(R) = 0{,}8 Ω. Comme Δ = 0{,}5 ≤ u(R) = 0{,}8, la mesure est compatible avec la valeur théorique.

Conclusion

Comparer une mesure à une valeur de référence revient à calculer la différence absolue et à la comparer à l'incertitude (ou à l'incertitude combinée). Cette méthode permet de décider, de façon quantitative, si la différence observée est significative ou non.