Introduction

En combinatoire, le dénombrement consiste à compter le nombre de façons possibles de disposer ou d’organiser des éléments. Parmi ces méthodes, les arrangements permettent de compter les permutations de certains éléments dans un ordre précis, en tenant compte de la sélection et de l’ordre.

Définition : Arrangement

Un arrangement de \(k\) éléments choisis parmi \(n\) éléments différents est une sélection ordonnée de \(k\) éléments. La différence avec la combinaison réside dans le fait que l’ordre compte dans un arrangement.

Formule du nombre d’arrangements

Le nombre d’arrangements de \(k\) éléments parmi \(n\), noté \(A_{n}^{k}\), est donné par la formule :

\( A_{n}^{k} = rac{n!}{(n - k)!} \)

où \(n!\) désigne la factorielle de \(n\), c’est-à-dire :

\( n! = n imes (n-1) imes (n-2) imes \dots imes 1 \)

Exemple

Supposons qu’on veuille savoir combien de façons d’arranger 3 lettres parmi 5 lettres différentes (A, B, C, D, E). Le nombre d’arrangements est :

\( A_{5}^{3} = rac{5!}{(5-3)!} = rac{120}{2!} = rac{120}{2} = 60 \)

Il existe donc 60 arrangements possibles de 3 lettres parmi les 5.

Points importants

• Les arrangements concernent une sélection où l’ordre est important.
• Le calcul repose sur la notion de factorielle.
• La formule est valable lorsque \(k \leq n\).

Résumé

Pour compter le nombre d’arrangements de \(k\) éléments dans un ensemble de \(n\) éléments, utilisez la formule :

\( A_{n}^{k} = rac{n!}{(n - k)!} \)

Ce concept est fondamental pour résoudre de nombreux problèmes de dénombrement où l’ordre a son importance.