Méthodes de dénombrement en combinatoire : les combinaisons

Introduction

En mathématiques, la dénombrement consiste à compter le nombre d’éléments ou de groupes possibles selon certaines règles. Les combinaisons permettent de connaître le nombre de façons de choisir des éléments sans tenir compte de leur ordre.

Les combinaisons : définition

Une combinaison est un groupe de \(k\) éléments choisis parmi un ensemble de \(n\) éléments, où l’ordre ne compte pas. Par exemple, choisir 3 fruits parmi 5 est une combinaison.

Formule de dénombrement

Le nombre de combinaisons possibles de \(n\) éléments pris \(k\) à \(k\) est noté \(inom{n}{k}\) et se calcule avec la formule :

\[ inom{n}{k} = rac{n!}{k! imes (n - k)!} \]

où \(n!\) désigne la factorielle de \(n\), c’est-à-dire le produit de tous les entiers de 1 à \(n\).

Exemple

Combien y a-t-il de façons de choisir 3 livres parmi 7 ?

\[ inom{7}{3} = rac{7!}{3! imes (7 - 3)!} = rac{7 imes 6 imes 5}{3 imes 2 imes 1} = 35 \]

Applications

• Sélection de membres pour un groupe
• Choix d’objets ou de combinaisons de produits
• Problèmes de loteries ou de jeux

Résumé

Les combinaisons permettent de compter de façon efficace le nombre d’ensembles possibles sans tenir compte de l’ordre. La formule \( inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n - k)!} \) est un outil fondamental en dénombrement.