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Méthodes de dénombrement en combinatoire : les combinaisons

1èreMathematiquesCombinatoireMéthodes de dénombrement: combinaisons~2 min de lecture

Le cours en une phrase simple: dénombrer des sous-ensembles de taille k parmi n éléments sans tenir compte de l'ordre.

Méthodes de dénombrement: les combinaisons

Objectifs

  • Comprendre ce qu\'est une combinaison sans répétition et sans ordre.
  • Connaître la formule de calcul de \(\\binom{n}{k}\) et savoir l\'appliquer.
  • Résoudre des exercices simples et interpréter les résultats dans des problèmes réels.

Notions clés

On appelle combinaisons les sous-ensembles de taille k issus d\'un ensemble de n éléments, où l\'ordre n\'a pas d\'importance et sans répétition.

Notion formelle :

On peut écrire \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Expression affichée :

On peut écrire sur une ligne dédiée :

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Interprétation et propriétés utiles :

  • \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \) (symétrie).
  • \( \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \).
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Exemples résolus

Exemple 1 : Combien de façons de choisir 3 personnes parmi 8 ?

Étape 1 : Identifier n et k; ici n=8, k=3.
Étape 2 : Écrire la formule et simplifier étape par étape.

Résolution :

\[ \begin{align} \binom{8}{3} &= \frac{8!}{3!(8-3)!} \\ &= \frac{8!}{3!5!} \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 56 \end{align} \]

Exemple 2 : Si l\'on veut choisir 5 couleurs parmi 9, combien de choix possibles ?

\[ \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \]
Étape 1 : écrire la formule pour n=9 et k=5.
Étape 2 : simplifier le calcul numérique.

Question : quelle est l\'interprétation correcte d\'une combinaison sans répétition et sans ordre ?

  1. On compte les arrangements où l\'ordre est important.
  2. On compte les sous-ensembles sans répétition et sans tenir compte de l\'ordre.
  3. On compte les séquences possibles avec répétition.
Réponse: c\'est B — l\'ordre n\'a pas d\'importance et il n\'y a pas de répétition.

Erreurs fréquentes

  • Confondre permutation et combinaison: ordre compte pour les permutations mais pas pour les combinaisons.
  • Oublier que n doit être ≥ k et que k peut être 0.
  • Oublier la symétrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).

Récapitulatif

  • Combinaisons sans répétition: choix de k éléments parmi n, sans ordre.
  • Formule centrale: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
  • Notions clés : n ≥ k ≥ 0, symétrie, et interprétation combinatoire.

Schéma: représentation des éléments et du choix

Schéma des combinaisons 1 2 3 4 5

L\'illustration montre 5 éléments et une sélection de 3 d\'entre eux (indiquée ici par les cercles colorés).

Schéma à légender (élève)

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