Objectifs

• Utiliser le principe multiplicatif et un arbre de choix pour dénombrer.
• Reconnaître une liste avec répétition (p-liste) et la compter avec \(n^p\).
• Reconnaître un arrangement sans répétition et calculer \(A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}\).
• Reconnaître une permutation et calculer \(n!\).
• Choisir la bonne formule à partir de deux questions : l'ordre compte-t-il ? la répétition est-elle permise ?

1. Le principe multiplicatif

Pour chaque plat, on a 2 boissons possibles. On obtient donc \(3 \times 2 = 6\) repas. C'est le principe multiplicatif :

Regarde l'arbre se construire pour une situation simple : avec les lettres A, B, C, on forme des « mots » de 2 lettres différentes (l'ordre compte : AB n'est pas BA).

2. Les listes avec répétition (p-listes)

Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments et \(p\) un entier naturel non nul. Une p-liste (ou liste avec répétition) de \(E\) est une suite ordonnée de \(p\) éléments de \(E\), pas forcément distincts. À chaque place, on a toujours les \(n\) choix.

Exemple résolu 1 : le code du téléphone

Combien de codes de 4 chiffres (de 0 à 9, répétitions permises) existe-t-il ? Cherche d'abord.

3. Les arrangements sans répétition

Factorielle

Pour un entier naturel \(n \geq 1\), la factorielle de \(n\) est \(n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1\). Par convention, \(0! = 1\).

Définition et formule

Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments et \(p\) un entier tel que \(0 \leq p \leq n\). Un arrangement de \(p\) éléments de \(E\) est une p-liste d'éléments deux à deux distincts : l'ordre compte, la répétition est interdite.

À la 1re place on a \(n\) choix, à la 2e place \(n-1\) choix, …, à la p-ième place \(n-p+1\) choix.

Exemple résolu 2 : le bureau du club

Combien de bureaux différents (président, secrétaire, trésorier) peut-on former avec les 30 élèves ? Cherche d'abord.

Exemple résolu 3 : le podium de la course

8 coureurs disputent la finale du 100 m aux jeux scolaires de Ouagadougou. Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ? Combien de codes de 4 chiffres tous différents existe-t-il ?

Fais varier \(n\) avec le curseur : la courbe donne \(A_n^2 = n(n-1)\), le nombre de façons de choisir un 1er et un 2e parmi \(x\) candidats. Elle grandit beaucoup plus vite que \(x\) : c'est l'« explosion combinatoire ». La droite montre \(y = n \times x\) pour comparer.

4. Les permutations

Une permutation de \(E\) (à \(n\) éléments) est un arrangement de ses \(n\) éléments : on les range tous, dans un certain ordre. C'est le cas \(p = n\) :

Exemple résolu 4 : l'étagère

5. Choisir la bonne méthode

Devant un problème, pose-toi deux questions dans l'ordre :

flowchart TD
  A[Tirage de p objets parmi n] --> B{L ordre compte}
  B -->|Oui| C{Repetition permise}
  C -->|Oui| D[p-liste : n puissance p]
  C -->|Non| E{p egal a n}
  E -->|Non| F[Arrangement : A n p]
  E -->|Oui| G[Permutation : n factorielle]
  B -->|Non| H[Combinaison : chapitre suivant]

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Principe multiplicatif : on multiplie les nombres de choix des étapes successives.
• p-liste (ordre, répétition) : \(n^p\).
• Arrangement (ordre, sans répétition) : \(A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1) = \dfrac{n!}{(n-p)!}\).
• Permutation (on range les n objets) : \(n!\), avec \(0! = 1\).