Définition

Une permutation d'un ensemble de \(n\) éléments est une disposition ordonnée de ces éléments. Par exemple, si l'ensemble est \(\{A, B, C\}\), ses permutations sont :

• \(ABC\)
• \(ACB\)
• \(BAC\)
• \(BCA\)
• \(CAB\)
• \(CBA\)

Nombre de permutations

Le nombre total de permutations possibles d'une suite de \(n\) éléments distincts est donné par:

\[n!\]

où \( n! \) (factoriel de \( n \)) est le produit de tous les entiers de 1 à \( n \):

\[n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n\]

Cas particuliers

• Si on ne considère que quelques éléments parmi les \( n \), on parle de permutations partielles ou arrangements. La formule est :

\[A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}\]

où \(k\) est le nombre d'éléments choisis parmi \(n\).

Exemple

Combien y a-t-il de permutations du mot "FRUIT" ?

1. Le mot comporte 5 lettres distinctes, donc le nombre de permutations est :

\[5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\]

Résumé

• Une permutation est une disposition ordonnée de n éléments.
• Le nombre total de permutations de \( n \) éléments est \( n! \).
• Pour arranger \( k \) éléments parmi \( n \) distincts, on utilise \( A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} \).