Factorisation : Méthodes de factorisation

Apprendre à décomposer un polynôme en facteurs grâce à des méthodes simples et vérifiables.

Objectifs

Connaître les principales méthodes de factorisation et leur domaine d'application.
Savoir factoriser un polynôme du degré 2 et reconnaître les cas factorables.
Appliquer les méthodes sur des exemples et vérifier le résultat par développement.

Notions clés

Facteur commun: extraction d'un facteur commun d'au moins deux termes: \(a x^2 + b x\) se factorise en \(x(a x + b)\).
Regroupement: regrouper les termes pour extraire des facteurs communs successivement.
Différence de carrés: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Trinôme du type x^2+bx+c (cas factorisable): on cherche deux nombres m et n tels que m+n=b et m n=c lorsque a=1; alors \(x^2+bx+c=(x+m)(x+n)\). Pour a≠1, on peut écrire sous forme \((dx+e)(fx+g)\) avec df=a et eg=c et dg+ef=b.
Somme et différence de cubes: \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\).

Exemples résolus

Exemple 1: factorisation par facteur commun

Étape 1 : repérer le facteur commun entre les termes.

Étape 2 : extraire ce facteur pour obtenir le produit.

Résolution:

\[ \begin{align} 6x^2 + 9x &= 3x(2x + 3) \\ &= 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 \end{align} \]

Voir la solution

Explication: on met en évidence le facteur commun \(3x\) puis on écrit le reste sous forme de produit.

Exemple 2: différence de carrés

Énoncé: factoriser \(a^2 - b^2\).

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Exemple 3: trinôme factorisable avec a=1

Énoncé: factoriser \(x^2 + 5x + 6\).

\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]

Exemple 4: trinôme avec a ≠ 1

Énoncé: factoriser \(3x^2 + 5x + 2\).

\[ 3x^2 + 5x + 2 = (3x + 2)(x + 1) \]

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur commun dans une étape.
Supposer que tout trinôme est factorisable sans vérifier le discriminant.
Oublier de fermer les parenthèses correctement, ce qui change tout le produit.

Récapitulatif

Méthodes clés: extraction du facteur commun, regroupement, différence de carrés, et factorisation des trinômes lorsque possible. Les identités sur les cubes complètent le répertoire des outils.

Cartes mémo

Facteur commun

Extraction d'un facteur commun: mettre ce facteur en dehors de la parenthèse

Différence de carrés

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Trinômes factorisables

Trouver m et n tels que m+n=b et m n=c (ou utiliser les facteurs)

graph TD
A[Factorisation] --> B[Extraction]
A --> C[Regroupement]
A --> D[Dérivation de carrés]
A --> E[Trinômes ax^2+bx+c]