Milieu d’un segment et propriétés vectorielles

Ce cours explique comment déterminer le milieu d’un segment et comment utiliser les propriétés vectorielles pour résoudre des problèmes en géométrie.

Objectifs

Savoir définir et calculer le milieu d’un segment.
Comprendre et utiliser les propriétés vectorielles dans un contexte géométrique.

Notions clés

Étude d’un exemple résolu

Soit les points \(A(2, 4)\) et \(B(8, 10)\). Trouvons le milieu \(M\) du segment \(\left[AB\right]\).

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Calcul des coordonnées du milieu : \(\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)\)

Substituons : \(\left( \frac{2 + 8}{2}, \frac{4 + 10}{2} \right)\)

Simplifions : \(\left( 5, 7 \right)\)

Le milieu \(M\) est donc le point \(\left( 5, 7 \right)\).

Cherche d'abord

Comment calculer le milieu d’un segment en coordonnées si on connaît ses extrémités ?

Formule : \(\textbf{Milieu} (M) = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)\)

Quelle est la formule pour trouver le milieu du segment entre \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) ?

\( \left( x_A - x_B, y_A - y_B \right) \)
\( \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)
\( \left( x_A \times x_B, y_A \times y_B \right) \)

C'est la moyenne des coordonnées, ce qui donne le point mi du segment.

Propriétés vecteur

Exemple de propriété vectorielle

Si \(\vec{AB} = \left( x_B - x_A, y_B - y_A \right)\) et \(\vec{AC} = \left( x_C - x_A, y_C - y_A \right)\), alors le point \(A\) est le point de départ commun aux vecteurs.

Voir la propriété

La somme \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) si \(A, B, C\) sont alignés.

Résumé

Le milieu d’un segment est le point qui le divise en deux parties égales, calculé par la moyenne des coordonnées de ses extrémités.
Les propriétés vectorielles simplifient la résolution des problèmes géométriques en utilisant des opérations sur les vecteurs.

Milieu d’un segment

Point divisant le segment en deux parties égales, calculé par la moyenne des coordonnées.

Vecteur

Quantité ayant une direction, un sens et une norme, généralement représentée par \(\vec{u}\).

Propriété vectorielle

Opération entre vecteurs permettant de déterminer des relations ou de simplifier des calculs géométriques.