Modèle du gaz parfait

Un gaz, c'est une foule de minuscules billes qui foncent dans tous les sens et cognent les parois : en les comptant, on relie pression, volume et température par une seule loi, \(PV = nRT\).

Objectifs

Décrire un gaz à l'échelle microscopique (molécules en mouvement désordonné) et à l'échelle macroscopique (pression, volume, température, quantité de matière).
Expliquer la pression par les chocs des molécules et la température par leur agitation.
Connaître et utiliser l'équation d'état du gaz parfait \(PV = nRT\) avec les bonnes unités.
Savoir quand le modèle est valable et quand il ne l'est plus.

1. Deux regards sur un même gaz

L'échelle microscopique

Un gaz est formé d'un nombre immense de molécules (par exemple \(\ce{N2}\) et \(\ce{O2}\) dans l'air). Elles sont très éloignées les unes des autres, se déplacent en ligne droite à grande vitesse, dans toutes les directions, et changent de direction quand elles se cognent entre elles ou contre les parois. Ce mouvement permanent et désordonné s'appelle l'agitation thermique.

L'échelle macroscopique

À notre échelle, on ne suit pas chaque molécule. On décrit le gaz par quatre grandeurs mesurables, appelées variables d'état :

la pression \(P\), en pascal (Pa) ;
le volume \(V\), en mètre cube (\(\text{m}^3\)) ;
la température absolue \(T\), en kelvin (K) ;
la quantité de matière \(n\), en mole (mol).

Le lien entre les deux échelles

La pression vient des chocs des molécules sur les parois : chaque choc pousse un tout petit peu la paroi ; des milliards de chocs par seconde donnent une force pressante \(F\) répartie sur la surface \(S\) :

\[ P = \frac{F}{S} \]

La température mesure l'agitation : plus les molécules vont vite en moyenne, plus la température absolue est élevée. À \(T = 0\ \text{K}\) (le zéro absolu), l'agitation serait minimale : c'est pourquoi aucune température ne peut descendre en dessous.

\[ T\ (\text{K}) = \theta\ (^\circ\text{C}) + 273{,}15 \]

Les molécules sont minuscules et très éloignées les unes des autres : le gaz est presque vide.

Chacune file en ligne droite dans une direction au hasard : c'est l'agitation thermique, d'autant plus vive que la température est élevée.

En cognant la paroi, elles exercent une force pressante F : rapportée à la surface, c'est la pression du gaz.

D'où vient la pression d'un gaz enfermé dans un ballon ?

Du poids des molécules posées au fond du ballon
De l'attraction des molécules entre elles
Des chocs des molécules sur la paroi du ballon

La pression est l'effet moyen des innombrables chocs des molécules en mouvement sur la paroi : chaque choc exerce une petite force.

À Tombouctou, il fait 37 °C. Quelle est la température absolue ?

236,15 K
310,15 K
37 K

\(T = 37 + 273{,}15 = 310{,}15\ \text{K}\) : on ajoute toujours 273,15.

2. Le modèle du gaz parfait

Le gaz parfait est un modèle, c'est-à-dire une description simplifiée de la réalité. On suppose que :

les molécules sont ponctuelles : leur volume propre est négligeable devant le volume du récipient ;
elles n'interagissent pas à distance (ni attraction, ni répulsion) : elles ne font que se cogner ;
les chocs sont élastiques : ils ne font pas perdre d'énergie cinétique.

L'équation d'état du gaz parfait

Pour un gaz parfait, les quatre variables d'état sont liées par :

\[ PV = nRT \]

\(P\) : pression en pascal (Pa) ;
\(V\) : volume en mètre cube (\(\text{m}^3\)) ;
\(n\) : quantité de matière en mole (mol) ;
\(T\) : température absolue en kelvin (K) ;
\(R \approx 8{,}314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\) : la constante des gaz parfaits.

Explorer la loi

Le graphique trace la pression \(P = \frac{nRT}{V}\) en fonction du volume. Pour garder des nombres simples, \(V\) est en litres et \(P\) en kilopascals (\(1\ \text{kPa}\cdot\text{L} = 1\ \text{J}\)). Bouge les curseurs : que devient la courbe si tu doubles \(n\) ? si tu augmentes \(T\) ?

À \(n\) et \(T\) fixés, quand le volume double, la pression est divisée par deux : \(P\) et \(V\) sont inversement proportionnels. Plus il y a de molécules ou plus elles sont agitées, plus la courbe monte.

Lois particulières qui en découlent

Pour une quantité de gaz fixée (\(n\) constant) :

à température constante : \(PV = \text{constante}\), donc \(P_1V_1 = P_2V_2\) (loi de Boyle-Mariotte) ;
à volume constant : \(\dfrac{P}{T} = \text{constante}\), donc \(\dfrac{P_1}{T_1} = \dfrac{P_2}{T_2}\) ;
à pression constante : \(\dfrac{V}{T} = \text{constante}\), donc \(\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}\).

Le volume molaire

D'après \(PV = nRT\), le volume occupé par une mole de gaz, \(V_m = \dfrac{V}{n} = \dfrac{RT}{P}\), ne dépend pas de la nature du gaz : à même \(P\) et même \(T\), une mole d'air, de dioxygène ou de dioxyde de carbone occupe le même volume.

Dans le modèle du gaz parfait, que néglige-t-on ?

Le volume propre des molécules et les interactions entre elles
La vitesse des molécules
Les chocs des molécules sur les parois

Les molécules sont vues comme des points qui ne s'attirent pas ; en revanche leur vitesse et leurs chocs sont essentiels, ils expliquent la température et la pression.

On comprime lentement l'air d'une seringue bouchée à température constante, de 60 mL à 20 mL. La pression…

est divisée par 3
est multipliée par 3
ne change pas

À \(n\) et \(T\) constants, \(PV\) reste constant : si \(V\) est divisé par 3, \(P\) est multiplié par 3.

3. Exemples résolus

Exemple 1 : le volume molaire à 25 °C

Convertir la température : \(T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\ \text{K}\).

Isoler le volume : \(V = \dfrac{nRT}{P}\).

\[ V = \frac{1 \times 8{,}314 \times 298{,}15}{1{,}013 \times 10^5} \approx 2{,}45 \times 10^{-2}\ \text{m}^3 \]

Soit environ \(24{,}5\ \text{L}\) : c'est le volume molaire dans ces conditions, quel que soit le gaz.

Exemple 2 : le pneu de moto sous le soleil de Niamey

Voir la solution

La quantité d'air et le volume sont constants, donc \(\dfrac{P}{T}\) est constant :

\begin{align} \frac{P_1}{T_1} &= \frac{P_2}{T_2} \\ P_2 &= P_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 2{,}0 \times 10^5 \times \frac{318{,}15}{293{,}15} \\ P_2 &\approx 2{,}17 \times 10^5\ \text{Pa} \end{align}

La pression augmente d'environ 8,5 %. C'est pourquoi on vérifie la pression des pneus « à froid », le matin.

Exemple 3 : combien d'air dans la salle de classe ?

Volume : \(V = 8 \times 6 \times 3 = 144\ \text{m}^3\). Température : \(T = 30 + 273{,}15 = 303{,}15\ \text{K}\).

\[ n = \frac{PV}{RT} = \frac{1{,}0 \times 10^5 \times 144}{8{,}314 \times 303{,}15} \approx 5{,}7 \times 10^3\ \text{mol} \]

\[ m = n \times M \approx 5{,}71 \times 10^3 \times 29 \approx 1{,}66 \times 10^5\ \text{g} \]

Soit environ 166 kg d'air : l'air qu'on croit « léger » pèse plus que trois sacs de ciment de 50 kg !

Un élève calcule \(n = \frac{PV}{RT}\) avec \(V = 2\ \text{L}\) écrit « 2 » et \(T = 27\) écrit en °C. Quelle est son erreur ?

Il fallait diviser par \(P\) au lieu de multiplier
La formule est fausse
Il fallait écrire \(V = 2 \times 10^{-3}\ \text{m}^3\) et \(T = 300{,}15\ \text{K}\)

La formule est juste, mais elle exige les unités SI : volume en \(\text{m}^3\) et température en kelvin.

4. Limites du modèle

Le modèle du gaz parfait décrit bien les gaz réels à basse pression (molécules très éloignées). À haute pression ou à basse température, les molécules se rapprochent : leur volume propre et leurs attractions ne sont plus négligeables, et \(PV = nRT\) devient une approximation de moins en moins bonne. À très basse température, le gaz peut même se liquéfier, ce que le modèle ne prévoit pas.

Dans quelle situation le modèle du gaz parfait est-il le moins fiable ?

Un gaz très comprimé et refroidi
L'air d'une chambre à pression atmosphérique
L'air d'un ballon de baudruche

Quand le gaz est très comprimé et froid, les molécules sont proches : leur taille et leurs attractions comptent, le modèle ne suffit plus.

Récapitulatif

Un gaz = des molécules éloignées en agitation désordonnée permanente.
Pression = effet des chocs sur les parois, \(P = \frac{F}{S}\) ; température absolue = mesure de l'agitation, \(T = \theta + 273{,}15\).
Gaz parfait : molécules ponctuelles, sans interaction, chocs élastiques.
Équation d'état : \(PV = nRT\), en Pa, \(\text{m}^3\), mol, K, avec \(R \approx 8{,}314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).
Modèle valable à basse pression ; il s'écarte du réel quand le gaz est très comprimé ou froid.

Agitation thermique

Mouvement permanent et désordonné des molécules, d'autant plus vif que la température est élevée.

Pression d'un gaz

Effet des chocs des molécules sur les parois : force pressante divisée par la surface, en pascal.

Température absolue

En kelvin : T = θ + 273,15. Elle ne peut pas être négative.

Gaz parfait

Modèle : molécules ponctuelles, sans interaction, chocs élastiques. Valable à basse pression.

Équation d'état

PV = nRT avec P en Pa, V en m³, n en mol, T en K et R ≈ 8,314 J/(mol·K).

Volume molaire

Vm = RT/P, le même pour tous les gaz à P et T donnés : environ 24,5 L à 25 °C et 1,013 bar.