Probabilités : modèle équiprobable, simulations et jeux

Quand toutes les issues ont la même chance, la probabilité d'un événement se calcule en divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles ; en répétant une expérience beaucoup de fois, la fréquence observée se rapproche de cette probabilité.

Objectifs

Reconnaître une expérience aléatoire, ses issues et ses événements.
Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité.
Utiliser l'événement contraire : \(p(\overline{A}) = 1 - p(A)\).
Dénombrer les issues d'une expérience à deux épreuves avec un arbre ou un tableau.
Comparer fréquence observée (simulation) et probabilité, et dire si un jeu est équitable.

1. Expérience aléatoire, issues, événements

Notions clés

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Chaque résultat possible s'appelle une issue. Pour un dé : 6 issues.
Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non ; on le décrit par une phrase ou par la liste des issues qui le réalisent. Exemple : \(A\) = « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6.
Un événement qui contient une seule issue est un événement élémentaire. Un événement toujours réalisé est certain ; un événement jamais réalisé est impossible.

On lance un dé à six faces. Quel événement est impossible ?

Obtenir un nombre inférieur à 7
Obtenir un multiple de 3
Obtenir 0

Le dé porte les nombres de 1 à 6 : aucune issue ne vaut 0, donc l'événement est impossible. « Inférieur à 7 » est au contraire certain.

2. Le modèle équiprobable

Notions clés

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé bien équilibré, pièce non truquée, billes identiques au toucher…), on dit que l'on est dans un modèle équiprobable. Alors, pour tout événement \(A\) :

\[p(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\]

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : \(0 \leq p(A) \leq 1\).
\(p(\text{événement impossible}) = 0\) et \(p(\text{événement certain}) = 1\).
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
L'événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est réalisé quand \(A\) ne l'est pas : \(p(\overline{A}) = 1 - p(A)\).

Exemple résolu 1 : le sac de Fatou

Calculer la probabilité de tirer une bille rouge, puis celle de ne pas tirer une bille rouge.

Nombre total d'issues : \(3 + 5 + 2 = 10\) billes, toutes équiprobables.

Issues favorables à \(R\) = « tirer une bille rouge » : 3 billes. Donc \(p(R) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\).

Événement contraire : \(p(\overline{R}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7\). Vérification : il y a bien \(5 + 2 = 7\) billes non rouges.

Exemple résolu 2 : le dé de Kofi

On lance un dé équilibré. Calculer \(p(A)\) avec \(A\) = « obtenir un nombre pair » et \(p(B)\) avec \(B\) = « obtenir au moins 5 ».

Voir la solution

6 issues équiprobables. \(A\) est réalisé par 2, 4, 6 : \(p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\). \(B\) est réalisé par 5 et 6 : \(p(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

Dans le sac de Fatou (3 rouges, 5 bleues, 2 vertes), quelle est la probabilité de tirer une bille verte ?

\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{5}\)
\(\frac{2}{8}\)

2 billes vertes sur 10 billes en tout : \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). On divise par le nombre total de billes, pas par le nombre des autres billes.

3. Expériences à deux épreuves : arbres et tableaux

L'arbre des possibles

Chaque chemin de l'arbre, de la racine au bout d'une branche, est une issue. Avec deux lancers de pièce, on obtient \(2 \times 2 = 4\) issues équiprobables : PP, PF, FP, FF.

Premier lancer : deux branches, Pile (P) ou Face (F).

Deuxième lancer : chaque branche se divise encore en deux, P ou F.

On lit les 4 issues au bout des chemins : PP, PF, FP et FF, toutes équiprobables.

Exemple résolu 3 : une pile et une face

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une pile et une face ?

Voir la solution

Issues favorables : PF et FP, soit 2 issues sur 4. Donc \(p = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\). Attention : PF et FP sont deux issues différentes (l'ordre des lancers compte).

Le tableau à double entrée : deux dés

On lance deux dés équilibrés, un rouge et un bleu, et on fait la somme. Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues équiprobables (couples de nombres). Le tableau donne la somme pour chaque couple :

Rouge \ Bleu	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Exemple résolu 4 : la somme 7

On compte les cases où la somme vaut 7 : (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1), soit 6 cases (la diagonale).

\(p(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).

Comparaison : la somme 2 n'apparaît qu'une fois, (1;1), donc \(p(\text{somme} = 2) = \dfrac{1}{36}\). Les sommes ne sont PAS équiprobables, même si les 36 couples le sont.

Avec deux dés, quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 10 ?

\(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
\(\frac{1}{11}\)
\(\frac{2}{36}\)

La somme 10 apparaît dans 3 cases : (4;6), (5;5), (6;4). Donc \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).

4. Simulations : fréquence et probabilité

Notions clés

La fréquence d'un résultat est : \(f = \dfrac{\text{nombre de fois où il est apparu}}{\text{nombre total d'essais}}\). Elle se mesure en faisant l'expérience.
La probabilité se calcule par un raisonnement, sans faire l'expérience.
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité (loi des grands nombres).
Simuler une expérience, c'est la remplacer par une autre plus rapide qui a les mêmes probabilités : tableur, calculatrice (nombre au hasard), tirage de papiers numérotés…

flowchart LR
  A[Peu de lancers] --> B[Fréquence très variable]
  B --> C[Beaucoup de lancers]
  C --> D[Fréquence proche de la probabilité]

Exemple résolu 5 : estimer avec une simulation

Aïcha simule 500 lancers d'un dé avec un tableur et obtient 86 fois le 6. Calcule la fréquence du 6 et compare-la à la probabilité.

Voir la solution

\(f = \dfrac{86}{500} = 0{,}172\). La probabilité est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). Les deux valeurs sont proches : le résultat est cohérent avec un dé équilibré. Avec plus de lancers, l'écart aurait tendance à diminuer.

On a lancé une pièce 10 fois et obtenu 7 fois Face. Que peut-on dire ?

La pièce est forcément truquée.
La probabilité d'obtenir Face est \(0{,}7\).
Sur seulement 10 lancers, une fréquence de \(0{,}7\) est possible même avec une pièce équilibrée.

Sur peu d'essais, la fréquence varie beaucoup. Seul un très grand nombre de lancers permettrait de soupçonner une pièce truquée.

5. Jeux équitables

Un jeu est équitable lorsque chaque joueur a la même probabilité de gagner. Pour le savoir, on calcule la probabilité de gain de chacun.

Exemple résolu 6 : pair ou impair

Dans le tableau des sommes, on compte les cases paires : 3 par ligne (une ligne sur deux commence par un nombre pair, l'autre par un impair, et les cases alternent), donc \(6 \times 3 = 18\) cases paires.

\(p(\text{Kofi gagne}) = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}\) et \(p(\text{Awa gagne}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

Les probabilités sont égales : le jeu est équitable.

Exemple résolu 7 : un jeu qui ne l'est pas

Nouveau jeu : Awa gagne si la somme est au moins 10, sinon Kofi gagne. Est-ce équitable ?

Voir la solution

Somme 10 : 3 cases ; somme 11 : 2 cases ; somme 12 : 1 case ; total 6 cases. \(p(\text{Awa gagne}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\) et \(p(\text{Kofi gagne}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\). Le jeu n'est pas équitable : Kofi a 5 fois plus de chances de gagner qu'Awa.

Avec un seul dé : Moussa gagne s'il sort 1 ou 2, Aïcha gagne s'il sort 3, 4, 5 ou 6. Le jeu est-il équitable ?

Oui, chacun a une chance sur deux.
Non : Moussa a \(\frac{1}{3}\) de chances et Aïcha \(\frac{2}{3}\).
Non : Moussa a \(\frac{1}{2}\) de chances et Aïcha \(\frac{2}{3}\).

Moussa : 2 issues sur 6, soit \(\frac{1}{3}\) ; Aïcha : 4 issues sur 6, soit \(\frac{2}{3}\). Les probabilités sont différentes, le jeu n'est pas équitable (et leur somme fait bien 1).

Erreurs fréquentes

Compter les « catégories » (couleurs, sommes) au lieu des issues équiprobables (billes, couples de dés).
Oublier qu'avec deux épreuves, l'ordre compte : PF et FP sont deux issues distinctes.
Confondre fréquence (mesurée) et probabilité (calculée).
Trouver une probabilité plus grande que 1 ou négative sans s'en inquiéter.

Récapitulatif

Modèle équiprobable : \(p(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}\), avec \(0 \leq p(A) \leq 1\).
Événement contraire : \(p(\overline{A}) = 1 - p(A)\).
Deux épreuves : arbre ou tableau à double entrée pour lister toutes les issues.
Sur un grand nombre d'essais, la fréquence se rapproche de la probabilité.
Un jeu est équitable si chaque joueur a la même probabilité de gagner.

Issue

Un résultat possible d'une expérience aléatoire.

Modèle équiprobable

Toutes les issues ont la même probabilité ; p(A) = cas favorables divisés par cas possibles.

Événement contraire

Il est réalisé quand A ne l'est pas ; sa probabilité vaut 1 moins p(A).

Fréquence

Nombre d'apparitions divisé par le nombre d'essais ; elle se rapproche de la probabilité sur beaucoup d'essais.

Jeu équitable

Chaque joueur a la même probabilité de gagner.