La lumière se décrit comme une onde (longueur d'onde, fréquence) et comme des photons dont l'énergie vaut \(E=h\nu\).

Modèles ondulatoire et particulaire de la lumière — relations \(\lambda = \dfrac{c}{\nu}\) et \(E = h\nu\)

Objectifs

Comprendre les deux modèles (ondulatoire et particulaire).
Savoir utiliser \(\lambda = \dfrac{c}{\nu}\) pour relier longueur d'onde et fréquence.
Calculer l'énergie d'un photon avec \(E = h\nu\).

Notions clés

Modèle ondulatoire

Définition : dans le modèle ondulatoire, la lumière est une onde électromagnétique caractérisée par sa longueur d'onde \(\lambda\) et sa fréquence \(\nu\). La relation entre ces grandeurs et la célérité \(c\) dans le vide est :

\[ \lambda = \dfrac{c}{\nu} \]

Constante : \(c \approx 3{.}00\times 10^{8}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

Si \(\nu\) augmente, que fait \(\lambda\) (à \(c\) constant) ?

Augmente
Diminue
Reste constant

\(\lambda\) et \(\nu\) sont inversement proportionnels : si la fréquence augmente, la longueur d'onde diminue.

Modèle particulaire (photons)

Définition : dans le modèle quantique, la lumière est composée de quanta d'énergie appelés photons. L'énergie \(E\) d'un photon est proportionnelle à la fréquence :

\[ E = h\nu \]

Constante de Planck : \(h \approx 6{.}63\times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\).

Un photon d'énergie plus grande a :

Une fréquence plus élevée
Une fréquence plus faible
La même fréquence

Comme \(E = h\nu\), une énergie plus grande implique une fréquence plus grande.

Relations utiles

Utilisez :

\[ \lambda = \dfrac{c}{\nu} \qquad\text{et}\qquad E = h\nu \]

En combinant on obtient l'énergie en fonction de la longueur d'onde :

\[ E = h\dfrac{c}{\lambda} \]

L'énergie d'un photon est inversement proportionnelle à :

La fréquence
La vitesse de la lumière
La longueur d'onde

\(E = h c / \lambda\) montre que \(E\) varie comme \(1/\lambda\).

Schéma — onde et photon

Schéma simplifié montrant une onde et un photon (noter \(\lambda\) et la direction de propagation \(c\)).

Exemples résolus

Voir la solution

On calcule d'abord la longueur d'onde :

\[ \lambda = \dfrac{c}{\nu} = \dfrac{3{.}00\times 10^{8}}{5{.}5\times 10^{14}}\,\mathrm{m} \]

Effectuons le calcul :

\[ \lambda = \dfrac{3{.}00}{5{.}5}\times 10^{8-14} = 0{.}545\times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 5{.}45\times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 545\,\mathrm{nm} \]

Ensuite l'énergie du photon :

\[ E = h\nu = 6{.}63\times 10^{-34}\times 5{.}5\times 10^{14}\,\mathrm{J} \] \[ E = 3{.}65\times 10^{-19}\,\mathrm{J} \]

La longueur d'onde trouvée (≈ 545 nm) correspond à quelle couleur ?

Vert
Bleu
Rouge

545 nm est dans le vert-jaune du spectre visible.

Étape 1 : convertir \(600\,\mathrm{nm}\) en mètres : \(600\,\mathrm{nm} = 600\times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 6{.}00\times 10^{-7}\,\mathrm{m}\).

Étape 2 : calculer la fréquence avec \(\nu = c/\lambda\) : \[ \nu = \dfrac{3{.}00\times 10^{8}}{6{.}00\times 10^{-7}} = 5{.}00\times 10^{14}\,\mathrm{Hz} \]

Étape 3 : énergie du photon \(E = h\nu\) : \[ E = 6{.}63\times 10^{-34}\times 5{.}00\times 10^{14} = 3{.}31\times 10^{-19}\,\mathrm{J} \]

Pour \(\lambda=600\,\mathrm{nm}\) la fréquence est :

3{.}00×10^{8} Hz
5{.}00×10^{14} Hz
6{.}00×10^{-7} Hz

Utiliser \(\nu = c/\lambda\) donne environ \(5{.}00\times 10^{14}\,\mathrm{Hz}\).

Erreurs fréquentes

Ne pas oublier d'utiliser les bonnes unités (convertir nm en m avant de diviser).
Ne pas oublier la notation scientifique pour des nombres très grands ou très petits.
Ne pas confondre énergie en joules et en électronvolts (1 eV = 1{.}60\\times 10^{-19}\\,\mathrm{J}).

Récapitulatif

Ondes : \(\lambda\) et \(\nu\), relation \(\lambda = c/\nu\).
Photons : énergie \(E = h\nu\).
Combinaison : \(E = hc/\lambda\).

\(\lambda = c/\nu\)

Relie longueur d'onde et fréquence (c = vitesse de la lumière).

\(E = h\nu\)

Énergie d'un photon proportionnelle à sa fréquence.

Constantes

\(c\approx 3{.}00\times10^{8}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\; h\approx 6{.}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\)

Conversion

Convertir nm en m : \(1\,\mathrm{nm}=10^{-9}\,\mathrm{m}\)