Modélisation : croissance et décroissance continue

Quand une quantité est multipliée par le même nombre à chaque unité de temps, sans à-coups, on la modélise par \(f(t) = C\,\mathrm{e}^{kt}\) : elle grandit si \(k > 0\) et diminue si \(k < 0\).

Objectifs

Reconnaître une situation de croissance ou de décroissance continue.
Écrire et interpréter un modèle \(f(t) = C\,\mathrm{e}^{kt}\) : valeur initiale \(C\), coefficient \(k\).
Faire le lien entre \(\mathrm{e}^{k}\), le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution par unité de temps.
Utiliser la relation \(f'(t) = k\,f(t)\) pour étudier le sens de variation.
Estimer, avec un tableau de valeurs, le moment où une quantité double ou est divisée par deux.

1. D'où vient le modèle exponentiel ?

Dans beaucoup de situations, la vitesse à laquelle une quantité change est proportionnelle à la quantité elle-même :

plus il y a de bactéries, plus il en apparaît par minute ;
plus il reste de médicament dans le sang, plus le corps en élimine par heure ;
plus il reste de noyaux radioactifs, plus il s'en désintègre par seconde.

En notant \(f(t)\) la quantité au temps \(t\) et \(f'(t)\) sa vitesse de variation, cela s'écrit :

\[ f'(t) = k\,f(t) \]

Tu sais que la fonction \(t \mapsto \mathrm{e}^{kt}\) a pour dérivée \(k\,\mathrm{e}^{kt}\). Donc toute fonction \(f(t) = C\,\mathrm{e}^{kt}\) vérifie bien \(f'(t) = k\,f(t)\). C'est le modèle exponentiel.

Pour \(f(t) = 300\,\mathrm{e}^{0{,}4t}\), que vaut \(f(0)\) ?

\(f(0) = 300\,\mathrm{e}^{0} = 300 \times 1 = 300\). Le nombre devant l'exponentielle est toujours la valeur initiale.

2. Croissance ou décroissance : le signe de k

Avec \(C > 0\), on a \(f'(t) = kC\,\mathrm{e}^{kt}\). Comme \(C\,\mathrm{e}^{kt} > 0\), la dérivée a le signe de \(k\) :

si \(k > 0\) : \(f\) est strictement croissante, c'est une croissance continue ;
si \(k < 0\) : \(f\) est strictement décroissante, c'est une décroissance continue (la quantité se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre) ;
si \(k = 0\) : \(f\) est constante.

Fais bouger les curseurs : \(a\) est la valeur initiale, \(k\) le coefficient. Observe ce qui se passe quand \(k\) change de signe.

La quantité \(Q(t) = 50\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}\) est :

croissante, car 50 est positif
constante
décroissante, car \(k = -0{,}2\) est négatif

C'est le signe de \(k\) qui décide : \(Q'(t) = -0{,}2 \times Q(t) < 0\), donc \(Q\) diminue.

3. Le sens de \(\mathrm{e}^{k}\) : un coefficient multiplicateur

Pour tout \(t\) :

\[ f(t+1) = C\,\mathrm{e}^{k(t+1)} = C\,\mathrm{e}^{kt} \times \mathrm{e}^{k} = f(t) \times \mathrm{e}^{k} \]

Donc, à chaque unité de temps, la quantité est multipliée par \(\mathrm{e}^{k}\). Le taux d'évolution par unité de temps est \(\mathrm{e}^{k} - 1\).

Lien avec les suites : les valeurs \(u_n = f(n)\) aux instants entiers forment une suite géométrique de premier terme \(C\) et de raison \(q = \mathrm{e}^{k}\). Le modèle exponentiel « remplit les trous » entre ces instants.

Une population suit \(P(t) = P_0\,\mathrm{e}^{0{,}2t}\) (\(t\) en années), avec \(\mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}221\). Chaque année, la population :

augmente d'environ 22,1 %
augmente de 20 % exactement
est multipliée par 0,2

Le coefficient multiplicateur annuel est \(\mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}221\), soit une hausse d'environ \(22{,}1\,\%\) par an.

4. Méthode pour modéliser une situation

flowchart LR
A[Lire la situation] --> B[Valeur initiale C]
B --> C[Coefficient k et son signe]
C --> D[Ecrire f de t]
D --> E[Calculer ou tabuler]
E --> F[Interpreter avec les unites]

Repérer la grandeur, l'unité de temps et la valeur au départ : c'est \(C\).
Repérer \(k\) (donné dans l'énoncé, ou tel que \(\mathrm{e}^{k}\) soit le coefficient multiplicateur).
Écrire \(f(t) = C\,\mathrm{e}^{kt}\).
Calculer des valeurs à la calculatrice, dresser un tableau, étudier les variations.
Répondre par une phrase, avec les unités.

5. Exemples résolus

Exemple 1 : les bactéries du lait (croissance)

Le nombre de bactéries dans le bol de Mariam est modélisé par \(N(t) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}2t}\), où \(t\) est en heures.

Combien y a-t-il de bactéries au départ ? après 5 heures ?
De quel pourcentage le nombre augmente-t-il chaque heure ?
Au bout de combien d'heures entières le nombre de bactéries a-t-il doublé ?

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

a) \(N(0) = 500\,\mathrm{e}^{0} = 500\) bactéries. Puis \(N(5) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}2 \times 5} = 500\,\mathrm{e}^{1} \approx 500 \times 2{,}718 \approx 1\,359\) bactéries.

b) Le coefficient multiplicateur par heure est \(\mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}2214\) : le nombre augmente d'environ \(22{,}1\,\%\) par heure.

c) On cherche quand \(N(t) \geq 1\,000\). Tableau : \(N(3) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}6} \approx 911\) et \(N(4) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}8} \approx 1\,113\).

Conclusion : le nombre double entre 3 h et 4 h ; au bout de 4 heures entières, il a doublé.

Exemple 2 : le médicament de Kofi (décroissance)

Kofi reçoit une injection. La quantité de médicament dans son sang est modélisée par \(Q(t) = 80\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}\), en milligrammes, \(t\) en heures. Le médecin veut savoir quand il restera moins de 20 mg.

Voir la solution

Comme \(k = -0{,}3 < 0\), \(Q\) est décroissante : \(Q'(t) = -0{,}3\,Q(t) < 0\).

Chaque heure, la quantité est multipliée par \(\mathrm{e}^{-0{,}3} \approx 0{,}741\) : elle baisse d'environ \(25{,}9\,\%\).

\[ \begin{align} Q(4) &= 80\,\mathrm{e}^{-1{,}2} \approx 80 \times 0{,}301 \approx 24{,}1 \text{ mg} \\ Q(5) &= 80\,\mathrm{e}^{-1{,}5} \approx 80 \times 0{,}223 \approx 17{,}9 \text{ mg} \end{align} \]

Il reste moins de 20 mg entre la 4^e et la 5^e heure : au bout de 5 heures, la quantité est passée sous 20 mg.

Exemple 3 : du pourcentage au coefficient k

Une coopérative de Kaolack voit son nombre de clients augmenter de 3 % par an, de façon régulière tout au long de l'année. Elle compte 200 clients aujourd'hui. Proposer un modèle continu.

Voir la solution

On veut \(f(t) = 200\,\mathrm{e}^{kt}\) avec un coefficient multiplicateur annuel de 1,03, donc \(\mathrm{e}^{k} = 1{,}03\).

En testant à la calculatrice : \(\mathrm{e}^{0{,}03} \approx 1{,}0305\) (un peu trop) et \(\mathrm{e}^{0{,}0296} \approx 1{,}0300\). On prend \(k \approx 0{,}0296\).

\[ f(t) \approx 200\,\mathrm{e}^{0{,}0296\,t} \]

Vérification : \(f(1) \approx 200 \times 1{,}03 = 206\) clients au bout d'un an.

Une quantité est modélisée par \(f(t) = 1\,000\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}\). Quelle relation est vraie ?

\(f'(t) = -0{,}05\)
\(f'(t) = -0{,}05\,f(t)\)
\(f'(t) = 1\,000\,f(t)\)

La dérivée de \(\mathrm{e}^{-0{,}05t}\) est \(-0{,}05\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}\), donc \(f'(t) = -0{,}05 \times f(t)\).

6. Erreurs fréquentes

Pour \(N(t) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}2t}\), quel calcul donne \(N(5)\) ?

\(500 \times 5 \times \mathrm{e}^{0{,}2}\)
\(500 \times \mathrm{e}^{0{,}2} + 5\)
\(500 \times \mathrm{e}^{1}\)

On remplace \(t\) par 5 dans l'exposant : \(0{,}2 \times 5 = 1\), donc \(N(5) = 500\,\mathrm{e}^{1}\).

Récapitulatif

Croissance ou décroissance continue : \(f(t) = C\,\mathrm{e}^{kt}\), avec \(C = f(0)\).
Le modèle vérifie \(f'(t) = k\,f(t)\) : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité.
\(k > 0\) : croissance ; \(k < 0\) : décroissance vers 0 (sans l'atteindre).
\(\mathrm{e}^{k}\) est le coefficient multiplicateur par unité de temps ; le taux est \(\mathrm{e}^{k} - 1\).
Aux instants entiers, \(f(n)\) forme une suite géométrique de raison \(\mathrm{e}^{k}\).

Modèle exponentiel

\(f(t) = C\,\mathrm{e}^{kt}\), avec \(C\) la valeur initiale.

Relation caractéristique

\(f'(t) = k\,f(t)\) : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité.

Signe de k

\(k > 0\) : croissance ; \(k < 0\) : décroissance.

Sens de \(\mathrm{e}^{k}\)

Coefficient multiplicateur par unité de temps ; taux \(= \mathrm{e}^{k} - 1\).

Lien avec les suites

\(u_n = f(n)\) est géométrique de raison \(q = \mathrm{e}^{k}\).