Modéliser une situation réelle en mathématiques – Mathematiques

La modélisation permet de représenter une situation réelle par une formule mathématique.

Objectifs

Savoir identifier une situation réelle pouvant être modélisée.
Construire un modèle mathématique simple à partir d'une situation de la vie courante.
Utiliser le modèle pour répondre à un problème posé.

Notions clés

Exemple résolu : Estimer le prix d'une bouteille d'eau

Supposons que l'on veuille modéliser le prix d'une bouteille d'eau en fonction de sa masse.

On note \( x \) la masse en grammes, et \( y \) le prix en euros.
Une bouteille de 500 g coûte 1,20 €, celle de 750 g coûte 1,80 €.
On observe que le prix est proportionnel à la masse : \( y = k \times x \).
Calculons la constante de proportionnalité \( k \) à partir des données :

Voir la solution

Pour la première bouteille :

\[ y = k \times 500 \Rightarrow 1,20 = k \times 500 \]

\[ k = \frac{1,20}{500} = 0,0024 \]

Vérifions avec la seconde :

\[ y = 0,0024 \times 750 = 1,80 € \]

Le modèle : \( y = 0,0024 \times x \).

Pour une bouteille de 1 litre (1000 g), le prix estimé sera :

\[ y = 0,0024 \times 1000 = 2,40\, \text{€} \]

Quelle est la formule du modèle ?

\( y = 0,0024 \times x \)
\( y = 500 \div x \)
\( y = 1,20 + 0,0024 \times x \)

La modélisation par proportionnalité utilise une multiplication, la bonne formule est la réponse 1.

Erreur fréquente

Résumé

La modélisation consiste à représenter une situation par une relation mathématique simple. Elle facilite la résolution de problèmes concrets en simplifiant la réalité tout en respectant ses grandes caractéristiques.

Notions à mémoriser

Modèle mathématique

Représentation simplifiée d'une situation réelle par une formule ou une équation.

Proportionnalité

Relation dans laquelle deux grandeurs sont liées par une constante de proportion.

Variables

Quantités qui peuvent varier, comme x (indépendante) et y (dépendante).