Objectifs

• Reconnaître un solide mobile autour d'un axe fixe et l'effet de rotation d'une force.
• Trouver le bras de levier d'une force et calculer son moment \(\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d\).
• Savoir quand le moment d'une force est nul.
• Calculer le moment d'un couple de forces.
• Appliquer le théorème des moments pour résoudre un problème d'équilibre (levier, balançoire, clé).

1. L'effet de rotation d'une force

Un solide mobile autour d'un axe fixe est un objet qui ne peut que tourner autour d'une droite immobile, notée \((\Delta)\) : une porte autour de ses gonds, une roue de vélo autour de son moyeu, une balançoire à bascule autour de son pivot, une clé autour de l'écrou.

L'effet de rotation d'une force dépend de trois choses :

• son intensité \(F\) (en newtons, N) : plus on pousse fort, plus ça tourne ;
• la distance entre l'axe et la droite d'action de la force : plus elle est grande, plus l'effet est fort ;
• sa direction : une force dont la droite d'action passe par l'axe ne fait pas tourner du tout.

Le bras de levier

Le bras de levier \(d\) d'une force est la distance la plus courte entre l'axe \((\Delta)\) et la droite d'action de la force. On l'obtient en traçant la perpendiculaire à la droite d'action qui passe par l'axe.

2. Le moment d'une force

Définition

Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un axe \((\Delta)\) perpendiculaire au plan de la force mesure son effet de rotation :

• \(F\) : intensité de la force, en newtons (\(\mathrm{N}\)) ;
• \(d\) : bras de levier, en mètres (\(\mathrm{m}\)) ;
• \(\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})\) : moment, en newtons-mètres (\(\mathrm{N \cdot m}\)).

Le signe du moment

On choisit d'abord un sens positif de rotation (souvent le sens inverse des aiguilles d'une montre). Puis :

• si la force tend à faire tourner le solide dans le sens positif : \(\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = +F \cdot d\) ;
• si elle le fait tourner dans l'autre sens : \(\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = -F \cdot d\).

Manipule : le moment grandit avec la force et le bras de levier

La courbe montre le moment \(\mathcal{M} = F \cdot d\) en fonction du bras de levier \(d\) (en mètres). Fais varier l'intensité \(F\) avec le curseur : pour un même moment, une force plus faible demande un bras de levier plus long.

Exemple résolu 1 : la clé de mécanicien

Au garage d'Abobo, Koffi serre un écrou avec une clé. Il exerce une force de \(50\ \mathrm{N}\) perpendiculaire au manche, à \(20\ \mathrm{cm}\) de l'axe de l'écrou. Quel est le moment de cette force ? Cherche d'abord.

Exemple résolu 2 : une force inclinée

Une barre tourne autour d'un axe O. On tire au point A, avec \(OA = 0{,}40\ \mathrm{m}\), une force \(F = 30\ \mathrm{N}\) qui fait un angle de \(30^{\circ}\) avec la barre. Calcule le bras de levier puis le moment.

3. Le couple de forces

Un couple de forces est formé de deux forces \(\vec{F_1}\) et \(\vec{F_2}\) de même intensité \(F\), de directions parallèles et de sens opposés, qui n'ont pas la même droite d'action. Il ne fait que tourner le solide. Son moment vaut :

où \(d\) est la distance entre les deux droites d'action.

Exemple : Aïcha tient un volant de \(40\ \mathrm{cm}\) de diamètre avec ses deux mains, chacune tirant avec \(15\ \mathrm{N}\) tangentiellement. Le moment du couple vaut \(15 \times 0{,}40 = 6\ \mathrm{N \cdot m}\).

4. Le théorème des moments : l'équilibre

Théorème des moments : lorsqu'un solide mobile autour d'un axe fixe \((\Delta)\) est en équilibre, la somme algébrique des moments par rapport à \((\Delta)\) de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nulle :

Il faut aussi que la somme vectorielle des forces soit nulle : \(\sum \vec{F} = \vec{0}\). C'est la réaction de l'axe qui assure cette deuxième condition ; son moment est nul, car elle passe par l'axe.

Avec deux forces qui tournent en sens contraires, cela revient à : \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \).

Exemple résolu 3 : la balançoire

Awa pèse \(300\ \mathrm{N}\) et s'assoit à \(1{,}5\ \mathrm{m}\) du pivot. Kofi pèse \(450\ \mathrm{N}\). À quelle distance du pivot doit-il s'asseoir pour que la planche (dont le poids passe par le pivot) soit en équilibre ? Cherche d'abord.

Exemple résolu 4 : soulever une pierre avec un levier

Un cultivateur de Bouaké veut soulever une pierre de poids \(P = 900\ \mathrm{N}\). Il glisse une barre de fer de \(2\ \mathrm{m}\) sur une cale placée à \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de la pierre, et appuie à l'autre bout perpendiculairement à la barre. Quelle force minimale doit-il exercer (on néglige le poids de la barre) ?

La méthode en schéma

flowchart LR
A[Choisir le solide] --> B[Inventaire des forces]
B --> C[Choisir le sens positif]
C --> D[Bras de levier de chaque force]
D --> E[Somme des moments egale a zero]
E --> F[Resoudre et conclure]

Récapitulatif

• Le bras de levier \(d\) est la distance entre l'axe et la droite d'action de la force.
• Moment d'une force : \(\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d\), en \(\mathrm{N \cdot m}\), avec un signe selon le sens de rotation choisi.
• Le moment est nul si la droite d'action passe par l'axe ou lui est parallèle.
• Couple de forces : deux forces égales, parallèles et opposées ; moment \(\pm F \cdot d\), \(d\) étant la distance entre leurs droites d'action.
• Théorème des moments : à l'équilibre, \(\sum \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = 0\) (et \(\sum \vec{F} = \vec{0}\)).