Mouvement dans un champ uniforme (pesanteur, champ électrique) — Tle

Mouvement dans un champ uniforme (pesanteur, champ électrique) — Terminale

Thème : Cinématique et dynamique — Objectif : comprendre et résoudre des mouvements soumis à un champ uniforme de force (poids, force électrostatique)

1. Pré-requis

Notions de vecteurs, repères cartésiens (x,y), composantes
Deuxième loi de Newton : ΣF = m·a
Formules de base du mouvement uniformément accéléré en 1D

2. Définitions et modèle

Un champ uniforme est un champ dont la valeur (en module et direction) est la même en tout point de l'espace considéré.

Champ de pesanteur uniforme près de la surface terrestre : g ≈ 9,81 m·s^-2 dirigé vers le bas. Le poids d'un objet de masse m est P = m·g (vecteur).
Champ électrique uniforme : E constant ; une charge q subit la force électrique F = q·E (vecteur, direction de E si q>0, opposée si q<0).

3. Équations générales

Dans un champ uniforme la force est constante : ΣF = F_constante. Alors l'accélération est constante :

a = ΣF / m = constante

Pour une seule dimension (axe y orienté positivement vers le haut) :

Position : y(t) = y0 + v0·t + (1/2)·a·t²
Vitesse : v(t) = v0 + a·t
Relation vitesse-position : v² = v0² + 2·a·(y - y0)

En 2D, appliquer ces relations indépendamment sur chaque axe si la seule force est verticale (p. ex. pesanteur) ou selon les composantes de la force résultante.

4. Cas 1 : Mouvement sous pesanteur (champ gravitationnel uniforme)

Force : P = m·g (vers le bas). Accélération : a = g (vers le bas). En général on pose a = -g si l'axe y est dirigé vers le haut.

Exemple 1 — Chute libre

Un objet lâché sans vitesse initiale depuis la hauteur h: v0 = 0, y0 = h, y = 0 au sol.

Temps de chute : t = sqrt(2h/g).

Vitesse à l'impact : v = -sqrt(2g h) (signe négatif si vers le bas).

Exemple 2 — Projectile (lancé depuis le sol)

Vitesse initiale v0 formant un angle θ avec l'horizontale. Composantes : v0x = v0·cosθ, v0y = v0·sinθ. En négligeant la résistance de l'air :

Temps de vol total : T = 2·v0y / g = 2·v0·sinθ / g
Portée horizontale : R = v0x·T = (v0²/g)·sin(2θ)
Hauteur maximale : H = v0y² / (2g) = (v0²·sin²θ) / (2g)

5. Cas 2 : Mouvement d'une charge dans un champ électrique uniforme

Force électrique : F = q·E (vecteur). Accélération : a = F/m = (q·E)/m. Si E est constant, l'accélération est constante et le mouvement est uniformément accéléré.

Exemple 3 — Électron entre deux plaques parallèles

Champ E vertical dirigé vers le bas, plaque supérieure à potentiel positif. Charge de l'électron q = -e = -1,60·10^-19 C, masse m_e ≈ 9,11·10^-31 kg.

Accélération de l'électron : a = (q·E)/m_e = -(e·E)/m_e (sens opposé à E).

Si l'électron pénètre entre les plaques avec vitesse horizontale v0x, sa déviation verticale y(t) = (1/2)·a·t² et t = L / v0x si L est la longueur entre plaques.

6. Remarques comparatives

Pesanteur : g est indépendant de la masse pour la même position ; l'accélération due à la pesanteur ne dépend pas de m (en négligeant la résistance de l'air).
Champ électrique : l'accélération dépend du rapport q/m. Deux particules de même q/m auront la même accélération dans le même E.
Superposition : si plusieurs champs sont présents, sommer vectoriellement les forces puis appliquer ΣF = m·a.

7. Problèmes types résolus

Problème A — Chute d'une bille

Une bille est lâchée d'une hauteur h = 20,0 m. Calculer le temps de chute et la vitesse juste avant l'impact (prendre g = 9,81 m·s^-2).

Donnée : h = 20,0 m, v0 = 0
Temps : t = sqrt(2h/g) = sqrt(40 / 9,81) ≈ 2,02 s
Vitesse : v = -g·t ≈ -9,81·2,02 ≈ -19,8 m·s^-1
Ou v = -sqrt(2 g h) ≈ -19,8 m·s^-1

Problème B — Projectile

Un lanceur projette une balle à v0 = 20,0 m·s^-1 sous un angle θ = 30° au-dessus de l'horizontale. Déterminer la portée R et la hauteur maximale H (g = 9,81 m·s^-2).

v0x = 20·cos30° ≈ 17,32 m/s
v0y = 20·sin30° = 10,0 m/s
Temps de vol T = 2·v0y/g ≈ 2·10 / 9,81 ≈ 2,04 s
Portée R = v0x·T ≈ 17,32·2,04 ≈ 35,3 m
Hauteur H = v0y^2/(2g) = 100 / (2·9,81) ≈ 5,10 m

Problème C — Électron entre plaques

Électron entre deux plaques créeant E = 5,0·10^4 V·m^-1 (dirigé vers le bas). Si sa vitesse initiale est horizontale v0x = 2,0·10^7 m·s^-1 et la longueur de la zone est L = 0,02 m, quelle est la déviation verticale à la sortie ?

q = -e = -1,60·10^-19 C ; m_e = 9,11·10^-31 kg
a = (q·E)/m = -(e·E)/m ≈ -(1,60e-19·5,0e4)/(9,11e-31)
≈ -8,79e15 m·s^-2
Temps t = L / v0x = 0,02 / 2,0e7 = 1,0e-9 s
Déviation y = (1/2)·a·t^2 ≈ 0.5·(-8,79e15)·(1,0e-9)^2 ≈ -4,395e-3 m ≈ -4,4 mm

8. Conseils pour les exercices

Choisir un repère clair et indiquer les signes (v0 positif ou négatif, orientation de g et de E).
Décomposer les forces en composantes et n'oublier aucune force extérieure (si présence de frottements, elles modifient ΣF).
Utiliser les équations du mouvement uniformément accéléré sur chaque axe séparément.
Vérifier les unités et estimer l'ordre de grandeur.

9. Récapitulatif des formules utiles

ΣF = m·a
P = m·g (poids), F_elec = q·E
a = ΣF/m (constante si ΣF const.)
y(t) = y0 + v0·t + 0.5·a·t², v(t) = v0 + a·t
v² = v0² + 2·a·(y - y0)
Projectile sans résistance : R = (v0²/g)·sin(2θ), H = v0²·sin²θ/(2g)

10. Exercices suggérés

Calculer la vitesse atteinte par un objet lâché d'une falaise de 45 m et le temps de chute.
Un projectile est lancé à 25 m·s^-1 sous 40°. Trouver T, R et H.
Une particule de charge q = +2,0·10^-6 C et de masse m = 1,0·10^-3 kg évolue dans E = 1,0·10^4 V·m^-1. Déterminer l'accélération et la distance parcourue en 2 s initialement au repos.

Corrigés rapides : utiliser a = qE/m, puis x = 0.5 a t^2 ; pour les deux premiers, appliquer les formules du projectile.