Dans un champ uniforme (pesanteur ou électrique), l'accélération est constante et gouverne trajectoire, vitesse et position selon des formules simples et analogues.

Mouvement dans un champ uniforme

Thème : Cinématique et dynamique — Niveau Terminale

Objectifs

Comprendre la notion de champ uniforme (pesanteur « proche de la Terre », champ électrique entre plaques parallèles).
Écrire et utiliser les équations du mouvement quand l'accélération est constante : \(\vec{a}=\text{constante}\).
Relier force, accélération et masse via la seconde loi de Newton.

Quel énoncé est vrai pour un champ uniforme vertical vers le bas ?

La vitesse d'un objet reste constante.
L'accélération est constante en direction et en module.
La force résultante varie avec la position.

Réponse 2 — un champ uniforme impose une accélération constante (direction et module inchangés) ; la force peut être constante si c'est la seule force.

Notions clés

Définitions essentielles

Pour une accélération constante \(\vec{a}\), les équations générales (composantes scalaires) sont :

Vitesse :

\(\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}\,t\)

Position :

\(\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0\,t+\dfrac{1}{2}\vec{a}\,t^2\)

Champ de pesanteur

Approximativement près de la surface terrestre : \(\vec{g}= -g\,\hat{y}\) (si l'axe \(+y\) pointe vers le haut). La force poids est \(\vec{P}=m\vec{g}\).

Champ électrique uniforme

Force électrique sur une charge \(q\) : \(\vec{F}=q\vec{E}\). Si c'est la seule force, alors \(\vec{a}=\dfrac{q\vec{E}}{m}\) (constante si \(\vec{E}\) est uniforme).

Dans un champ électrique uniforme vertical vers le bas, une particule positive subira :

Une accélération vers le bas si elle est libre.
Une accélération vers le haut si elle est libre.
Aucune accélération si elle est chargée.

Réponse 1 — la force électrique est \(q\vec{E}\), pour \(q>0\) et \(\vec{E}\) vers le bas cela donne une accélération vers le bas.

Schéma : particule chargée dans un champ uniforme entre deux plaques

Le schéma montre une particule pénétrant horizontalement entre deux plaques séparées, le champ \(\vec{E}\) étant vertical. On y montre la vitesse initiale horizontale, la force électrique vers le bas et la trajectoire parabolique.

Sur le schéma, quelle grandeur provoque la déviation verticale de la particule ?

La vitesse horizontale \(v_0\).
La présence des plaques.
La force électrique \(q\vec{E}\) (donc l'accélération verticale).

Réponse 3 — la déflexion verticale est causée par la force électrique, qui produit une accélération verticale constante.

Exemples résolus

Exemple 1 — Chute libre : temps de chute

Voir la solution

Étape 1 — choisir l'axe : \(+y\) vers le haut, position initiale \(y_0=h\), \(y(t)=0\) au sol.

Étape 2 — équation de position : \(y(t)=y_0+v_{0y}t+\dfrac{1}{2}a_yt^2\). Ici \(v_{0y}=0\) et \(a_y=-g\).

Étape 3 — poser \(y(t)=0\) et résoudre : \[0=h-\dfrac{1}{2}g\,t^2\] d'où \[t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.\]

Conclusion : le temps dépend de la racine de la hauteur et de g.

Si \(h\) est quadruplée, comment évolue le temps de chute ?

Il est multiplié par 2.
Il est multiplié par 4.
Il reste le même.

Réponse 1 — \(t\propto\sqrt{h}\), donc quadrupler \(h\) multiplie \(t\) par \(\sqrt{4}=2\).

Exemple 2 — Particule chargée traversant un champ électrique

Voir la solution

Étape 1 — dynamique : force verticale \(F_y=qE\) (si \(q>0\)), donc accélération \(a_y=\dfrac{qE}{m}\) constante.

Étape 2 — temps de traversée : la composante horizontale n'est pas affectée, \(v_x(t)=v_{0x}\) constant. Le temps pour parcourir \(L\) est \[t=\dfrac{L}{v_{0x}}.\]

Étape 3 — déplacement vertical pendant ce temps (si \(v_{0y}=0\)) : \[y= v_{0y}t+\dfrac{1}{2}a_y t^2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{qE}{m}\right)\left(\dfrac{L}{v_{0x}}\right)^2.\]

Conclusion — la déviation augmente avec \(qE\) et \(L^2\), diminue avec \(m\) et avec \(v_{0x}^2\).

Si la vitesse horizontale double, que devient la déviation verticale ?

Elle double.
Elle est divisée par 4.
Elle reste inchangée.

Réponse 2 — \(y\propto 1/v_{0x}^2\), donc doubler \(v_{0x}\) réduit \(y\) par 4.

Erreurs fréquentes

Confondre vitesse et accélération (vitesse peut être nulle au départ alors que l'accélération ne l'est pas).
Appliquer \(\vec{F}=m\vec{a}\) sans vérifier toutes les forces présentes (frottements, réactions des supports...).
Utiliser \(g=9{}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) sans arrondir correctement pour des calculs numériques simples.

Quelle erreur conduit à un temps de chute imaginaire en résolvant une équation quadratique pour la position ?

Ne pas inclure l'accélération.
Omettre la vitesse initiale.
Confondre signes et poser mal la condition \(y(t)=0\) (mauvaise valeur de \(y_0\)).

Réponse 3 — poser la condition finale avec une valeur initiale incohérente peut donner une équation sans racine réelle ; re-vérifier le repère et les signes.

Outil interactif : visualiser position en fonction du temps

Exprimez une composante (par exemple la verticale) par \(y(t)=y_0+v_{0y}t+\dfrac{1}{2}a_yt^2\). Le graphique ci-dessous permet d'ajuster \(v_{0y}\) et \(a_y\) pour voir l'effet.

En gardant \(a\) négatif et \(v_{0y}=0\), que fait la courbe si on augmente \(c\) (la hauteur initiale) ?

La courbe se décale vers le haut (augmentation de \(y\) à \(t=0\)).
La courbe devient plus pentue.
Rien ne change.

Réponse 1 — \(c\) est l'ordonnée initiale \(y_0\), elle décale verticalement la trajectoire.

Récapitulatif et cartes mémo

Points essentiels à retenir :

Champ uniforme → accélération constante.
Second loi de Newton : \(\vec{F}=m\vec{a}\).
Équations horaires : \(\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}t\) et \(\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\dfrac{1}{2}\vec{a}t^2\).
Pour une charge : \(\vec{F}=q\vec{E}\) et donc \(\vec{a}=q\vec{E}/m\) si c'est la seule force.

Champ uniforme

Grandeur identique en tout point; entraîne accélération constante.

Équation vitesse

\(\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}t\).

Équation position

\(\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\dfrac{1}{2}\vec{a}t^2\).

Force électrique

\(\vec{F}=q\vec{E}\) → accélération \(\vec{a}=q\vec{E}/m\).