Objectifs

• Calculer une moyenne pondérée (coefficients ou effectifs).
• Déterminer la médiane, le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\) d'une série.
• Calculer et interpréter l'écart interquartile \(Q_3 - Q_1\).
• Calculer la variance et l'écart type d'une série, et interpréter l'écart type.
• Comparer deux séries à l'aide d'un indicateur de position et d'un indicateur de dispersion.

1. La moyenne pondérée

Soit une série de valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_p\) affectées des poids (coefficients ou effectifs) \(n_1, n_2, \dots, n_p\), avec \(N = n_1 + n_2 + \dots + n_p\). La moyenne pondérée est :

\[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \dots + n_p} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i \]

Exemple résolu 1 : la moyenne du trimestre

Awa a obtenu : Maths 12 (coef. 4), Français 14 (coef. 3), Anglais 10 (coef. 2), EPS 16 (coef. 1). Calculer sa moyenne.

Observe l'effet d'un coefficient. Une élève a 10 dans une matière de coefficient \(p\) et 16 dans une matière dont le coefficient \(x\) varie (axe horizontal) ; la courbe donne sa moyenne. Bouge le curseur \(p\) :

Moyenne d'une série avec effectifs

On a interrogé 20 familles d'un quartier de Ouagadougou sur leur nombre d'enfants :

2. Médiane, quartiles et écart interquartile

Les valeurs de la série étant rangées dans l'ordre croissant, et \(N\) étant l'effectif total :

• la médiane \(Me\) partage la série en deux groupes de même effectif : si \(N\) est impair, c'est la valeur de rang \(\frac{N+1}{2}\) ; si \(N\) est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs \(\frac{N}{2}\) et \(\frac{N}{2}+1\) ;
• le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : c'est la valeur de rang \(\frac{N}{4}\) (arrondi à l'entier supérieur si besoin) ;
• le troisième quartile \(Q_3\) est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : c'est la valeur de rang \(\frac{3N}{4}\) (arrondi à l'entier supérieur si besoin).

Exemple résolu 2 : les familles du quartier

Reprenons la série des 20 familles (tableau ci-dessus). Déterminer \(Me\), \(Q_1\), \(Q_3\) et l'écart interquartile.

Le diagramme en boîte

On résume la série par cinq nombres : minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum. Place les noms sur le diagramme en boîte de la série des familles (axe gradué de 0 à 5 enfants) :

3. Variance et écart type

Pour une série de valeurs \(x_i\) d'effectifs \(n_i\), d'effectif total \(N\) et de moyenne \(\bar{x}\) :

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

\[ V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i\,(x_i - \bar{x})^2 \]

L'écart type est la racine carrée de la variance :

\[ \sigma = \sqrt{V} \]

flowchart LR
A[Calculer la moyenne] --> B[Ecarts a la moyenne]
B --> C[Elever au carre]
C --> D[Moyenne des carres : variance]
D --> E[Racine carree : ecart type]

Exemple résolu 3 : qui est le plus régulier ?

Calculer l'écart type des ventes de Fatou puis de Moussa (moyenne 50 pour les deux).

Exemple résolu 4 : les familles du quartier

Calculer l'écart type du nombre d'enfants (série du tableau, \(\bar{x} = 2{,}2\)) avec la formule pratique.

4. Bien choisir ses indicateurs

• On associe la moyenne à l'écart type : ils utilisent toutes les valeurs mais sont sensibles aux valeurs extrêmes.
• On associe la médiane à l'écart interquartile : ils résistent aux valeurs extrêmes.

Récapitulatif

• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\), on divise par la somme des poids.
• Série rangée : \(Q_1\) valeur de rang \(\frac{N}{4}\), \(Q_3\) valeur de rang \(\frac{3N}{4}\) (arrondis à l'entier supérieur) ; \(EIQ = Q_3 - Q_1\).
• Variance \(V = \dfrac{1}{N}\sum n_i (x_i-\bar{x})^2 = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2\) ; écart type \(\sigma = \sqrt{V}\).
• Petit écart type ou petit écart interquartile : série regroupée, régulière.
• Couples d'indicateurs : (moyenne, écart type) et (médiane, écart interquartile).