Objectifs

• Reconnaître et employer les mots « multiple », « diviseur », « divisible par ».
• Utiliser la division euclidienne pour savoir si un nombre en divise un autre.
• Appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9, 10 et 25.
• Dresser la liste de tous les diviseurs d’un nombre et trouver les diviseurs communs à deux nombres.

1. Multiples et diviseurs

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels, avec \(b \neq 0\). S’il existe un entier naturel \(k\) tel que

\[ a = b \times k \]

alors on dit indifféremment :

• \(a\) est un multiple de \(b\) ;
• \(b\) est un diviseur de \(a\) ;
• \(a\) est divisible par \(b\) ;
• \(b\) divise \(a\).

Exemple : \(12 = 3 \times 4\). Donc 12 est un multiple de 3 (et de 4), et 3 (comme 4) est un diviseur de 12.

Les multiples d’un nombre

On obtient les multiples de \(b\) en multipliant \(b\) par \(0, 1, 2, 3, \dots\) : c’est la « table de \(b\) » qui ne s’arrête jamais.

Multiples de 7 inférieurs à 50 : \(0,\ 7,\ 14,\ 21,\ 28,\ 35,\ 42,\ 49\).

Le lien avec la division euclidienne

Diviser \(a\) par \(b\), c’est trouver le quotient \(q\) et le reste \(r\) tels que

\[ a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b. \]

\(b\) est un diviseur de \(a\) si et seulement si le reste \(r\) est nul.

Exemple résolu. Un car de Ouagadougou à Bobo-Dioulasso a 12 rangées de sièges. 158 voyageurs peuvent-ils occuper exactement des rangées complètes ? Autrement dit : 158 est-il un multiple de 12 ?

Une propriété utile : somme et différence

Si un nombre \(d\) divise \(a\) et divise \(b\), alors \(d\) divise aussi \(a + b\) et \(a - b\) (quand \(a \ge b\)).

Exemple : 7 divise 70 et 7 divise 14, donc 7 divise \(70 + 14 = 84\) et \(70 - 14 = 56\).

2. Les critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

• par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) ;
• par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
• par 10 si son chiffre des unités est 0 ;
• par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
• par 25 si ses deux derniers chiffres forment 00, 25, 50 ou 75 ;
• par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
• par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

flowchart LR
N[Nombre a tester] --> U[Regarder le dernier chiffre]
N --> D[Regarder les deux derniers chiffres]
N --> S[Faire la somme des chiffres]
U --> R1[Par 2 par 5 par 10]
D --> R2[Par 4 par 25]
S --> R3[Par 3 par 9]

Exemple résolu. Le nombre 2 340 est-il divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 10 ? Cherche d’abord, puis dévoile les étapes.

À toi. Le nombre 1 236 est-il divisible par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ?

3. Trouver tous les diviseurs d’un nombre

Méthode : on cherche les diviseurs par paires. On teste 1, 2, 3, … et chaque fois que \(d\) divise \(a\), on écrit \(a = d \times k\) : on trouve deux diviseurs d’un coup. On s’arrête dès que \(d \times d\) dépasse \(a\).

Exemple résolu. Liste des diviseurs de 84.

Diviseurs communs à deux nombres

Un diviseur commun à \(a\) et \(b\) est un nombre qui divise à la fois \(a\) et \(b\). Le plus grand d’entre eux s’appelle le PGCD de \(a\) et \(b\) (plus grand commun diviseur).

À toi. Awa a 36 mangues et 48 oranges. Elle veut faire des paniers tous identiques en utilisant tous les fruits. Combien de paniers au maximum ? Que contient chaque panier ?

Récapitulatif

• \(a = b \times k\) : \(a\) est un multiple de \(b\), \(b\) est un diviseur de \(a\).
• \(b\) divise \(a\) si et seulement si le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est nul.
• Dernier chiffre : critères de 2, 5, 10 ; deux derniers chiffres : critères de 4 et 25 ; somme des chiffres : critères de 3 et 9.
• Pour lister les diviseurs, on les cherche par paires et on s’arrête quand \(d \times d\) dépasse le nombre.
• Le plus grand diviseur commun de deux nombres s’appelle leur PGCD.