Introduction

Un nombre complexe est une extension des nombres réels permettant de représenter des solutions d'équations comme \( x^2 + 1 = 0 \), qui n'ont pas de solution réelle. Il s'écrit sous la forme \( z = a + bi \), où

• \( a \) est la partie réelle,
• \( b \) est la partie imaginaire,
• \( i \) est l’unité imaginaire, définie par \( i^2 = -1 \).

Représentation graphique

Les nombres complexes peuvent être représentés dans le plan appelé plan d'Argand-Gaudin :

Chaque point \((a, b)\) correspond au nombre complexe \( a + bi \).

Opérations sur les nombres complexes

Addition

Pour deux nombres complexes \( z_1 = a_1 + b_1 i \) et \( z_2 = a_2 + b_2 i \), on a :

\[ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \]

Soustraction

Similarly :

\[ z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \]

Multiplication

Produit de deux nombres complexes :

\[ z_1 imes z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i \]

Division

Pour \( z_2 eq 0 \), on a :

\[ rac{z_1}{z_2} = rac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + rac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} i \]

Module et argument

Module

La norme ou module d’un nombre complexe \( z = a + bi \) est :

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Argument

L'argument \( heta \) est l'angle entre le vecteur représentant \( z \) et l’axe des abscisses :

\[ heta = rctan \left( rac{b}{a} ight) \] (en tenant compte du quadrant)

Forme trigonométrique

Un nombre complexe peut s’écrire en forme trigonométrique :

\[ z = |z| (\cos heta + i \sin heta) \]

Ce qui facilite la multiplication et la puissance :

\[ z_1 z_2 = |z_1| |z_2| (\cos ( heta_1 + heta_2) + i \sin ( heta_1 + heta_2)) \]