2. Représentation graphique

Dans le plan complexe, appelé plan d’Argand, un nombre complexe \(z = a + bi\) est représenté par le point :

(z) = (a, b)

où \(a\) est la partie réelle et \(b\) la partie imaginaire.

3. Opérations sur les nombres complexes

3.1 Addition

Pour deux complexes \(z_1 = a_1 + b_1i\) et \(z_2 = a_2 + b_2i\), on a :

z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\

3.2 Soustraction

:

z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i\

3.3 Multiplication

:

z_1 	imes z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i\

3.4 Division

Pour \(z_2 eq 0\), :

z_1 / z_2 = rac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + rac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}i\

4. Module et argument

4.1 Module

Le module d’un complexe \(z = a + bi\) est :

egin{aligned}
|z| &= \sqrt{a^2 + b^2}
\end{aligned}\

4.2 Argument

L’argument \(rg(z)\) est l’angle \( heta\) entre la droite passant par l’origine et le point \(z\), mesuré dans \(-\pi, \pi]\). :

\[	heta = rctan\left(rac{b}{a}
ight)\]

5. Forme trigonométrique et exponentielle

5.1 Forme trigonométrique

Un complexe peut s’écrire :

z = |z| (\cos 	heta + i \sin 	heta)\

5.2 Forme exponentielle

Utilisant la formule d’Euler :

z = |z| e^{i 	heta}\

6. Puissances et racines

6.1 Puissances

Pour un entier \(n\), :

z^n = |z|^n \left(\cos n 	heta + i \sin n 	heta
ight)\

6.2 Racines n-ièmes

Les racines n-ièmes de \(z\) sont :

z_k = \sqrt[n]{|z|} \left(\cos \left(rac{	heta + 2k\pi}{n}
ight) + i \sin \left(rac{	heta + 2k\pi}{n}
ight)
ight),\quad k=0,1,\ldots,n-1\

7. Résolution d’équations

Les équations du type :

z^n = z_0\

Sont résolues en utilisant la forme exponentielle et la formule de De Moivre.

Conclusion

Les nombres complexes sont essentiels pour résoudre des problèmes en mathématiques et en sciences. La représentation géométrique facilite la compréhension des opérations et des propriétés.