Nombres entiers et divisibilités

1. Les diviseurs et multiples

Un nombre entier a est un multiple d'un nombre b si a peut s'écrire comme a = b × k with k entier. Par exemple, 12 est un multiple de 3 car 12 = 3 × 4.

Un nombre d est un diviseur d'un nombre n si n est divisible par d. Par exemple, 4 est un diviseur de 12 car 12 ÷ 4 = 3, sans reste.

2. Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous deux sans reste.

Pour le trouver, on peut utiliser la méthode de la décomposition en facteurs premiers ou l'algorithme d'Euclide.

Exemple : trouver le PGCD de 30 et 45

• Décomposition de 30 : 2 × 3 × 5
• Décomposition de 45 : 3² × 5

Leurs facteurs communs sont 3 et 5, donc PGCD(30, 45) = 3 × 5 = 15.

3. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Le PPCM de deux nombres est le plus petit nombre divisible par chacun d'eux.

On peut aussi l'utiliser la décomposition en facteurs premiers :

• Prendre tous les facteurs premiers de chaque nombre.
• Pour chaque facteur, prendre le plus grand nombre d'occurrences parmi les deux décompositions.
• Multiplier tous ces facteurs pour obtenir le PPCM.

Exemple : PPCM de 12 et 15

• Décomposition de 12 : 2² × 3
• Décomposition de 15 : 3 × 5
• PPCM = 2² × 3 × 5 = 60

4. Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Un nombre premier est un nombre divisible uniquement par 1 et lui-même, comme 2, 3, 5, 7, 11, ...

Tout nombre entier peut être écrit comme un produit de nombres premiers (décomposition en facteurs premiers).

Exemple : décomposition de 60

60 = 2² × 3 × 5

Utiliser la décomposition en facteurs premiers permet de mieux comprendre la structure des nombres et de résoudre des problèmes liés à la divisibilité.