1. Multiples et diviseurs

Un nombre entier \(a\) est un multiple d'un nombre entier \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que :

\[ a = b imes k \]

Par exemple, 20 est un multiple de 5 parce que : \[20 = 5 imes 4\]

Un nombre entier \(b\) est un diviseur de \(a\) si \(a\) est un multiple de \(b\).

Par exemple, 5 est un diviseur de 20.

2. Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui divise parfaitement ces deux nombres.

Par exemple, pour 8 et 12, le PGCD est : 4.

Méthode : pour calculer le PGCD, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide :

• On divise le plus grand nombre par le plus petit.
• On remplace le plus grand par le reste de la division.
• On répète jusqu'à obtenir un reste nul.
• Le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Exemple : calcul du PGCD de 48 et 18 :

• 48 ÷ 18 = 2 reste 12
• 18 ÷ 12 = 1 reste 6
• 12 ÷ 6 = 2 reste 0

Donc, le PGCD(48, 18) = 6.

3. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Le PPCM de deux nombres est le plus petit nombre qui est un multiple commun à ces deux nombres.

Par exemple, le PPCM de 3 et 4 est 12.

Une relation importante avec le PGCD est :

\[ ext{PPCM}(a, b) = rac{|a imes b|}{ ext{PGCD}(a, b)} \]

Exemple : pour 8 et 12 :

• PGCD(8, 12) = 4
• \[ ext{PPCM}(8, 12) = rac{8 imes 12}{4} = rac{96}{4} = 24 \]

4. Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Les nombres qui ne sont pas premiers s'appellent composés.

5. La décomposition en facteurs premiers

Tout nombre entier strictement supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, c'est la décomposition en facteurs premiers.

Exemple : décomposons 60 :

• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 est premier.

Donc : \[ 60 = 2^2 imes 3 imes 5 \]

Cette décomposition est utile pour calculer le PGCD et le PPCM rapidement.