Nombres entiers et divisibilités : multiples, diviseurs, PGCD, PPCM, nombres premiers et décomposition en facteurs

Ce cours explique comment gérer les nombres entiers, leurs divisions et décompositions pour mieux comprendre leur structure.

Objectifs

Diviseurs d’un nombre : un nombre qui divise un autre sans reste.
Multiples : nombres qui sont le résultat d’un nombre initial multiplié par un entier.
PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : le plus grand nombre qui divise deux nombres.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) : le plus petit nombre divisible par deux nombres.
Nombres premiers : divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes.
Décomposition en facteurs premiers : écrire un nombre comme un produit de nombres premiers.

Soit le nombre 12. Ses diviseurs sont : \[\begin{align*} 1, 2, 3, 4, 6, 12 \end{align*}\].

Les multiples de 3 comprennent : \[\begin{align*} 3, 6, 9, 12, 15, \dots \end{align*}\].

Calculons le PGCD de 24 et 36 :

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Décomposons en facteurs premiers :

24 = \(2^3 \times 3\)

36 = \(2^2 \times 3^2\)

Le PGCD est le produit des facteurs communs avec la plus petite puissance :

\[\begin{align*} PGCD(24, 36) &= 2^{\min(3, 2)} \times 3^{\min(1,2)} \ &= 2^{2} \times 3^{1} = 4 \times 3=12 \end{align*}\]

Calculons le PPCM :

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Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers avec la plus grande puissance :

\[\begin{align*} PPCM(24, 36) &= 2^{\max(3, 2)} \times 3^{\max(1,2)} &= 2^{3} \times 3^{2} = 8 \times 9=72 \end{align*}\]

Décompose le nombre 45 en facteurs premiers :

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45 divisé par 3 : 45 = 3 \times 15. 15 divisé par 3 : 15= 3 \times 5. Donc, la décomposition est :

\[45=3^{2} \times 5\]

Quel est le diviseur de 30 qui n’est pas un multiple de 5 ?

Réponse : 3. 3 divise 30 mais 10 aussi, mais 3 n’est pas un multiple de 5.

Les diviseurs sont les nombres qui divisent un nombre entier sans reste.
Les multiples sont calculés en multipliant un nombre par des entiers.
Le PGCD est le plus grand diviseur commun, utile pour simplifier les fractions.
Le PPCM est le plus petit multiple commun, utilisé pour mettre des fractions au même dénominateur.
Les nombres premiers ne se divisent que par 1 et eux-mêmes, et la décomposition en facteurs permet de voir leur structure.