Nombres entiers et divisibilités : Nombre entiers naturels

Introduction

Les nombres entiers naturels sont les nombres que l'on utilise pour compter. Ils incluent zéro et tous les nombres positifs sans décimales ni fractions. Par exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Les nombres entiers naturels

Le ensemble des nombres entiers naturels est noté par ℕ

Ils ont une ordre : \[ 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < ... \]

On peut effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction (dans certaines limites) et la multiplication.

Divisibilité

Un nombre entier naturel \(a\) est divisible par un autre nombre entier naturel \(b\) (différent de zéro) si le résultat de la division \(a \div b\) est un nombre entier, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de reste.

On note cela ainsi : \[ b \mid a \] ce qui se lit « \(b\) divise \(a\) ».

Exemples de divisibilité

• \(6 \mid 12\) car \(12 \div 6 = 2\), un entier.
• \(3 \mid 15\) car \(15 \div 3 = 5\), un entier.
• \(4 mid 10\) car \(10 \div 4 = 2,5\), non entier, donc 4 ne divise pas 10.

Critères de divisibilité simples

• Divisibilité par 2 : le nombre est pair, c'est-à-dire se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisibilité par 3 : la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Divisibilité par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.

Conclusion

Les nombres entiers naturels constituent une base essentielle en mathématiques. La divisibilité permet de simplifier certains calculs et de comprendre les propriétés des nombres. La maîtrise de ces concepts est importante pour progresser en mathématiques.