Nombres entiers et divisibilités : Opérations et critères de divisibilité

1. Opérations sur les nombres entiers

Les principales opérations sur les nombres entiers sont :

• L'addition : si on ajoute deux nombres entiers, le résultat est un entier.
• La soustraction : soustraire un entier d'un autre donne aussi un entier.
• La multiplication : le produit de deux entiers est un entier.
• La division : diviser un entier par un autre n'est pas toujours un entier, sauf si le diviseur divise parfaitement le dividende.

2. Divisibilité et critères de divisibilité

a) Définition

Un nombre entier \(a\) est divisible par un autre entier \(b\) (avec \(b eq 0\)) si le quotient \(a ÷ b\) est un entier. On écrit alors : \(b | a\).

b) Critères de divisibilité

Voici quelques critères simples pour savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 :

• Divisible par 2 : si le nombre est pair, c'est-à-dire si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisible par 3 : si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Divisible par 4 : si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
• Divisible par 5 : si le chiffre des unités est 0 ou 5.
• Divisible par 9 : si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Divisible par 10 : si le chiffre des unités est 0.

3. Exemple d'application

Déterminons si le nombre 12345 est divisible par 3 :

On calcule la somme des chiffres : \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\).

Comme 15 est divisible par 3, alors 12345 l'est aussi.

4. Résumé

Les opérations sur les nombres entiers sont fondamentales en mathématiques. Les critères de divisibilité permettent de vérifier rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans effectuer la division entière.