Nombres entiers et divisibilités

1. Multiples et diviseurs

Un nombre entier \(a\) est un multiple d'un nombre entier \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a = b imes k\).
Par exemple, 12 est un multiple de 3 car \(12 = 3 imes 4\).

Un diviseur d'un nombre \(a\) est un nombre qui divise \(a\) sans laisser de reste. On dit que \(b\) est un diviseur de \(a\) si \(a : b\) donne un quotient entier.

2. Le plus grand commun diviseur (PGCD)

Le PGCD de deux nombres est le plus grand entier qui divise ces deux nombres sans reste. Pour le trouver, on peut utiliser la méthode de décomposition en facteurs premiers ou l'algorithme d'Euclide.

Exemple : Trouver le PGCD de 48 et 60

• Décomposition en facteurs premiers :
  • 48 = \(2^4 imes 3\)
  • 60 = \(2^2 imes 3 imes 5\)
• Le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exponenet :
  PGCD(\(48, 60\)) = \(2^{\min(4,2)} imes 3^{\min(1,1)} = 2^2 imes 3 = 12\)

3. Le plus petit commun multiple (PPCM)

Le PPCM de deux nombres est le plus petit multiple commun à ces deux nombres. On le calcule en utilisant leur décomposition en facteurs premiers :

• Pour 48 et 60 :
  • Décompositions : 48 = \(2^4 imes 3\), 60 = \(2^2 imes 3 imes 5\)
  • PPCM = \(2^{\max(4,2)} imes 3^{\max(1,1)} imes 5^{\max(0,1)} = 2^4 imes 3 imes 5 = 240\)

4. Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Un nombre premier est un nombre divisible uniquement par 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, ...
Tout nombre entier peut être décomposé en facteurs premiers, c'est-à-dire en produits de nombres premiers.

Exemple : Décomposition de 60

60 = \(2^2 imes 3 imes 5\) , où 2, 3 et 5 sont premiers.