Comparaison de nombres

Savoir comparer des nombres entiers, décimaux et fractions en choisissant la méthode la plus simple (repère, même dénominateur, passage aux décimales, produit en croix).

Objectifs

Comprendre l'ordre sur les nombres réels et la place des nombres négatifs.
Savoir comparer des entiers, des décimales et des fractions.
Utiliser des techniques rapides : repère, égalisation des écritures, produit en croix, conversion décimale.

Notions clés

1. Ordre des réels et nombres négatifs

Sur une droite graduée, un point situé à gauche correspond toujours à un nombre plus petit. Par conséquent, pour deux réels \(x\) et \(y\) :

\(x

Étape 1: comparer entiers (ex. -1 et 3) — gauche = plus petit.

Étape 2: comparer décimales en alignant les chiffres (ex. 2.30 vs 2.13).

Étape 3: comparer fractions par produit en croix ou même dénominateur (ex. \(\frac{3}{4}\) vs \(\frac{5}{8}\)).

2. Comparer des décimales

Exemple : \(2{,}3>2{,}13\) car \(2{,}30>2{,}13\).

3. Comparer des fractions

Méthodes :

Mettre sur un même dénominateur.
Produit en croix : pour \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) avec \(b,d>0\), on a

\(\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\iff ad

4. Règles utiles

Si \(a0\), alors \(ac
Si \(0\dfrac{1}{b}\) (réciproque inverse l'ordre).
Comparer des nombres en valeur absolue : \(|x|\) est la distance à 0.

Quel énoncé est vrai ?

\(2{,}3<2{,}13\)
\(2{,}3>2{,}13\)
\(2{,}3=2{,}13\)

On complète : \(2{,}30>2{,}13\), donc la bonne réponse est la 2.

Exemples résolus

Exemple 1 — entiers et négatifs

Comparer \(-5\) et \(-2\).

Voir la solution

Étape 1 : placer sur la droite graduée : \(-5\) est à gauche de \(-2\).

Conclusion : \( -5 < -2. \)

Exemple 2 — décimales

Comparer \(3{,}405\) et \(3{,}41\).

Voir la solution

Étape 1 : compléter les décimales : \(3{,}405=3{,}405\) et \(3{,}41=3{,}410\).

Étape 2 : comparer chiffre par chiffre après la virgule : \(405<410\) donc \(3{,}405<3{,}41\).

Exemple 3 — fractions

Comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

Voir la solution

Étape 1 : produit en croix : calculer \(3\times 8=24\) et \(5\times 4=20\).

Étape 2 : comme \(24>20\), on en déduit \(\dfrac{3}{4}>\dfrac{5}{8}\).

Parmi ces affirmations, laquelle est vraie ?

\(\dfrac{7}{10}>\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{7}{10}<\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{7}{10}=\dfrac{2}{3}\)

Comparer par produit en croix : \(7\times 3=21\) et \(2\times 10=20\) donc \(\dfrac{7}{10}>\dfrac{2}{3}\).

Erreurs fréquentes

Ne pas compléter les décimales par des zéros (ex. considérer à tort \(2{,}3\) comme plus petit que \(2{,}13\)).
Oublier que le réciproque inverse l'ordre pour les positifs.
Appliquer le produit en croix sans vérifier le signe des dénominateurs.

Si \(0< a < b\), que peut-on dire ?

\(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\)
\(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)
\(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\)

Pour des positifs, plus le nombre est petit, plus son inverse est grand ; donc la bonne réponse est la 3.

Récapitulatif

Pour comparer des nombres : utilisez la droite graduée, alignez les décimales, mettez les fractions au même dénominateur ou faites un produit en croix, et faites attention aux signes et aux inverses.

Droite graduée

À gauche = plus petit.

Décimales

Compléter par des zéros pour comparer.

Fractions

Produit en croix : \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\iff ad0).

Réciproque

Si \(01/b\).

Valeur absolue

\(|x|\) = distance de \(x\) à 0.